Theorem zfcndinf 4970

Description: Axiom of Infinity, reproved from conditionless ZFC axioms. Since we have already reproved Extensionality, Replacement, and Power Sets, we are justified in referencing theorem el 2751 in the proof.

Assertion

Ref	Expression
zfcndinf	|- E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el 2751	. . 3 |- E.w x e. w
2		ax-17 971	. . . . . 6 |- (x e. y -> A.w x e. y)
3		hbe1 1016	. . . . . . . 8 |- (E.w(x e. w /\ w e. y) -> A.wE.w(x e. w /\ w e. y))
4	2, 3	hbim 1007	. . . . . . 7 |- ((x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)) -> A.w(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
5	4	hbal 1005	. . . . . 6 |- (A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)) -> A.wA.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
6	2, 5	hban 1009	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))) -> A.w(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
7	6	hbex 1006	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))) -> A.wE.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
8		ax-17 971	. . . . 5 |- (x e. w -> A.y x e. w)
9		axinfnd 4958	. . . . . 6 |- E.y(x e. w -> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
10	9	19.35i 1076	. . . . 5 |- (A.y x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
11	8, 10	syl 10	. . . 4 |- (x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
12	7, 11	19.23ai 1064	. . 3 |- (E.w x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
13	1, 12	ax-mp 7	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
14		elequ1 1136	. . . . . 6 |- (z = x -> (z e. y <-> x e. y))
15		elequ1 1136	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (z e. w <-> x e. w))
16	15	anbi1d 617	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((z e. w /\ w e. y) <-> (x e. w /\ w e. y)))
17	16	exbidv 1279	. . . . . 6 |- (z = x -> (E.w(z e. w /\ w e. y) <-> E.w(x e. w /\ w e. y)))
18	14, 17	imbi12d 626	. . . . 5 |- (z = x -> ((z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)) <-> (x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
19	18	cbvalv 1314	. . . 4 |- (A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)) <-> A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
20	19	anbi2i 480	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y))) <-> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
21	20	exbii 1051	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
22	13, 21	mpbir 190	1 |- E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-15 1360  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-reg 4593  ax-inf 4622

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413

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