HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem xrltmint 5914
Description: Two ways of saying an extended real is less than the minimum of two others.
Assertion
Ref Expression
xrltmint |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (A < if(B <_ C, B, C) <-> (A < B /\ A < C)))
Proof of Theorem xrltmint
StepHypRef Expression
1 xrmin1 5911 . . . . 5 |- ((B e. RR* /\ C e. RR*) -> if(B <_ C, B, C) <_ B)
213adant1 797 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> if(B <_ C, B, C) <_ B)
3 xrltletrt 5563 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ if(B <_ C, B, C) e. RR* /\ B e. RR*) -> ((A < if(B <_ C, B, C) /\ if(B <_ C, B, C) <_ B) -> A < B))
4 3simp1 788 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> A e. RR*)
5 ifcl 2380 . . . . . 6 |- ((B e. RR* /\ C e. RR*) -> if(B <_ C, B, C) e. RR*)
653adant1 797 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> if(B <_ C, B, C) e. RR*)
7 3simp2 789 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> B e. RR*)
83, 4, 6, 7syl3anc 858 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> ((A < if(B <_ C, B, C) /\ if(B <_ C, B, C) <_ B) -> A < B))
92, 8mpan2d 702 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (A < if(B <_ C, B, C) -> A < B))
10 xrmin2 5912 . . . . 5 |- ((B e. RR* /\ C e. RR*) -> if(B <_ C, B, C) <_ C)
11103adant1 797 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> if(B <_ C, B, C) <_ C)
12 xrltletrt 5563 . . . . 5 |- ((A e. RR* /\ if(B <_ C, B, C) e. RR* /\ C e. RR*) -> ((A < if(B <_ C, B, C) /\ if(B <_ C, B, C) <_ C) -> A < C))
1312, 6syld3an2 872 . . . 4 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> ((A < if(B <_ C, B, C) /\ if(B <_ C, B, C) <_ C) -> A < C))
1411, 13mpan2d 702 . . 3 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (A < if(B <_ C, B, C) -> A < C))
159, 14jcad 600 . 2 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (A < if(B <_ C, B, C) -> (A < B /\ A < C)))
16 breq2 2623 . . 3 |- (B = if(B <_ C, B, C) -> (A < B <-> A < if(B <_ C, B, C)))
17 breq2 2623 . . 3 |- (C = if(B <_ C, B, C) -> (A < C <-> A < if(B <_ C, B, C)))
1816, 17ifboth 2375 . 2 |- ((A < B /\ A < C) -> A < if(B <_ C, B, C))
1915, 18impbid1 517 1 |- ((A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR*) -> (A < if(B <_ C, B, C) <-> (A < B /\ A < C)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958  ifcif 2361   class class class wbr 2619   <_ cle 5295  RR*cxr 5485   < clt 5486
This theorem is referenced by:  ltmint 5923  iooint 6372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491
Copyright terms: Public domain