Theorem xpsspw 3257

Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments.

Assertion

Ref	Expression
xpsspw	|- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)

Proof of Theorem xpsspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 3255	. 2 |- Rel (A X. B)
2		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
3	2	opelxp 3214	. . 3 |- (<.x, y>. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
4		snssi 2466	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> {x} (_ A)
5		ssun3 2195	. . . . . . . 8 |- ({x} (_ A -> {x} (_ (A u. B))
6	4, 5	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. A -> {x} (_ (A u. B))
7		snex 2750	. . . . . . . 8 |- {x} e. V
8	7	elpw 2404	. . . . . . 7 |- ({x} e. P~(A u. B) <-> {x} (_ (A u. B))
9	6, 8	sylibr 200	. . . . . 6 |- (x e. A -> {x} e. P~(A u. B))
10	9	adantr 389	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x} e. P~(A u. B))
11		snssi 2466	. . . . . . . . . 10 |- (y e. B -> {y} (_ B)
12		ssun4 2196	. . . . . . . . . 10 |- ({y} (_ B -> {y} (_ (A u. B))
13	11, 12	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (y e. B -> {y} (_ (A u. B))
14	6, 13	anim12i 333	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} (_ (A u. B) /\ {y} (_ (A u. B)))
15		unss 2204	. . . . . . . 8 |- (({x} (_ (A u. B) /\ {y} (_ (A u. B)) <-> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
16	14, 15	sylib 198	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} u. {y}) (_ (A u. B))
17		df-pr 2413	. . . . . . 7 |- {x, y} = ({x} u. {y})
18	16, 17	syl5ss 2105	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} (_ (A u. B))
19		zfpair2 2780	. . . . . . 7 |- {x, y} e. V
20	19	elpw 2404	. . . . . 6 |- ({x, y} e. P~(A u. B) <-> {x, y} (_ (A u. B))
21	18, 20	sylibr 200	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. P~(A u. B))
22	10, 21	jca 288	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)))
23		prex 2781	. . . . . 6 |- {{x}, {x, y}} e. V
24	23	elpw 2404	. . . . 5 |- ({{x}, {x, y}} e. P~P~(A u. B) <-> {{x}, {x, y}} (_ P~(A u. B))
25		df-op 2416	. . . . . 6 |- <.x, y>. = {{x}, {x, y}}
26	25	eleq1i 1537	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. P~P~(A u. B) <-> {{x}, {x, y}} e. P~P~(A u. B))
27	7, 19	prss 2471	. . . . 5 |- (({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)) <-> {{x}, {x, y}} (_ P~(A u. B))
28	24, 26, 27	3bitr4r 184	. . . 4 |- (({x} e. P~(A u. B) /\ {x, y} e. P~(A u. B)) <-> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
29	22, 28	sylib 198	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. B) -> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
30	3, 29	sylbi 199	. 2 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> <.x, y>. e. P~P~(A u. B))
31	1, 30	relssi 3248	1 |- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 958   u. cun 2045   (_ wss 2047  P~cpw 2401  {csn 2409  {cpr 2410  <.cop 2411   X. cxp 3168

This theorem is referenced by:  unixpss 3258  xpexg 3259  rankxpu 4711

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain