Theorem xpsn 3835

Description: The cross product of two singletons.

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. V
fsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	|- ({A} X. {B}) = {<.A, B>.}

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn.2	. . 3 |- B e. V
2	1	fconst 3658	. 2 |- ({A} X. {B}):{A}-->{B}
3		fsn.1	. . 3 |- A e. V
4	3, 1	fsn 3834	. 2 |- (({A} X. {B}):{A}-->{B} <-> ({A} X. {B}) = {<.A, B>.})
5	2, 4	mpbi 189	1 |- ({A} X. {B}) = {<.A, B>.}

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {csn 2409  <.cop 2411   X. cxp 3168  -->wf 3178

This theorem is referenced by:  grpsn 8124  ablsn 8125  ringsn 8163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-reu 1651  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197

Copyright terms: Public domain