Theorem xplmi2 7974

Description: Two sequences converge if the sequence of their ordered pairs converges. Part of Proposition 14-2.6 of [Gleason] p. 230. Note: The hypothesis S e. V is redundant but is kept for convenience.

Hypotheses

Ref	Expression
xplm.a	|- R e. V
xplm.b	|- S e. V
xplm.1	|- X = dom dom B
xplm.3	|- Y = dom dom C
xplm.5	|- B e. Met
xplm.6	|- C e. Met
xplm.7	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
xplmi.9	|- F = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = (1st` (H` k)))}
xplmi.10	|- G = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = (2nd` (H` k)))}

Assertion

Ref	Expression
xplmi2	|- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)R) -> ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)(1st` R)) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)(2nd` R))))

Distinct variable groups:   x,y,z,B   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   w,k,x,y,z,X   k,Y,w,x,y,z   x,F,y,z   x,G,y,z   k,H,w

Proof of Theorem xplmi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3732	. . 3 |- (1st` R) e. V
2		fvex 3732	. . 3 |- (2nd` R) e. V
3		xplm.1	. . 3 |- X = dom dom B
4		xplm.3	. . 3 |- Y = dom dom C
5		xplm.5	. . 3 |- B e. Met
6		xplm.6	. . 3 |- C e. Met
7		xplm.7	. . 3 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
8		xplmi.9	. . 3 |- F = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = (1st` (H` k)))}
9		xplmi.10	. . 3 |- G = {<.k, w>. | (k e. NN /\ w = (2nd` (H` k)))}
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	xplmi 7973	. 2 |- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)<.(1st` R), (2nd` R)>.) -> ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)(1st` R)) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)(2nd` R))))
11	3, 4, 5, 6, 7	metxp 7834	. . . . . 6 |- D e. Met
12		xplm.a	. . . . . 6 |- R e. V
13		ltso 5512	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
14	13	supex 4577	. . . . . . . . . 10 |- sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ) e. V
15	14, 7	dmoprab2 4123	. . . . . . . . 9 |- dom D = ((X X. Y) X. (X X. Y))
16	15	dmeqi 3312	. . . . . . . 8 |- dom dom D = dom ((X X. Y) X. (X X. Y))
17		dmxpid 3333	. . . . . . . 8 |- dom ((X X. Y) X. (X X. Y)) = (X X. Y)
18	16, 17	eqtr2 1496	. . . . . . 7 |- (X X. Y) = dom dom D
19	18	lmcl 7949	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ R e. V /\ H(~~>m` D)R) -> R e. (X X. Y))
20	11, 12, 19	mp3an12 906	. . . . 5 |- (H(~~>m` D)R -> R e. (X X. Y))
21		elxp6 4102	. . . . . 6 |- (R e. (X X. Y) <-> (R = <.(1st` R), (2nd` R)>. /\ ((1st` R) e. X /\ (2nd` R) e. Y)))
22	21	pm3.26bi 322	. . . . 5 |- (R e. (X X. Y) -> R = <.(1st` R), (2nd` R)>.)
23	20, 22	syl 10	. . . 4 |- (H(~~>m` D)R -> R = <.(1st` R), (2nd` R)>.)
24	23	breq2d 2630	. . 3 |- (H(~~>m` D)R -> (H(~~>m` D)R <-> H(~~>m` D)<.(1st` R), (2nd` R)>.))
25	24	ibi 592	. 2 |- (H(~~>m` D)R -> H(~~>m` D)<.(1st` R), (2nd` R)>.)
26	10, 25	sylan2 451	1 |- ((H:NN-->(X X. Y) /\ H(~~>m` D)R) -> ((F:NN-->X /\ F(~~>m` B)(1st` R)) /\ (G:NN-->Y /\ G(~~>m` C)(2nd` R))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {cpr 2410  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666   X. cxp 3168  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  {copab2 3964  1stc1st 4077  2ndc2nd 4078  supcsup 4573  RRcr 5233  NNcn 5296   < clt 5486  Metcme 7789  ~~>mclm 7919

This theorem is referenced by:  bopcnlem1 7981

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-z 6136  df-uz 6418  df-met 7793  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain