Theorem xpexg 3265

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23.

Assertion

Ref	Expression
xpexg	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A X. B) e. V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexg 2880	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A u. B) e. V)
2		pwexg 2752	. . 3 |- ((A u. B) e. V -> P~(A u. B) e. V)
3	1, 2	syl 10	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> P~(A u. B) e. V)
4		pwexg 2752	. 2 |- (P~(A u. B) e. V -> P~P~(A u. B) e. V)
5		xpsspw 3263	. . 3 |- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)
6		ssexg 2726	. . 3 |- (((A X. B) (_ P~P~(A u. B) /\ P~P~(A u. B) e. V) -> (A X. B) e. V)
7	5, 6	mpan 697	. 2 |- (P~P~(A u. B) e. V -> (A X. B) e. V)
8	3, 4, 7	3syl 20	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A X. B) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  Vcvv 1814   u. cun 2048   (_ wss 2050  P~cpw 2405   X. cxp 3174

This theorem is referenced by:  xpex 3266  resiexg 3402  cnvexg 3525  coexg 3530  resfunexg 3585  cofunexg 3586  fnex 3613  fabexg 3659  oprabex2g 4026  pmex 4333  mapex 4334  ixpexg 4364  fodomr 4489  cdavalt 4931  lmfval 7922  caufval 7923  lmbr 7925  iscau 7933  isvc 8196  inposet 10477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191

Copyright terms: Public domain