Theorem xp0r 3229

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
xp0r	|- ((/) X. A) = (/)

Proof of Theorem xp0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3192	. . 3 |- (z e. ((/) X. A) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)))
2		noel 2274	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		simprl 414	. . . . . . 7 |- ((z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) -> x e. (/))
4	2, 3	mto 106	. . . . . 6 |- -. (z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
5	4	nex 1097	. . . . 5 |- -. E.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
6	5	nex 1097	. . . 4 |- -. E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
7		noel 2274	. . . 4 |- -. z e. (/)
8	6, 7	2false 717	. . 3 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) <-> z e. (/))
9	1, 8	bitr 173	. 2 |- (z e. ((/) X. A) <-> z e. (/))
10	9	eqriv 1467	1 |- ((/) X. A) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  (/)c0 2270  <.cop 2401   X. cxp 3158

This theorem is referenced by:  dmxpid 3322  res0 3355  xp0 3451  xpnz 3452  xpdisj1 3454  rnxpss 3460  unixp 3503  fconst 3643  fodomr 4463  cda0en 4897  cdaassen 4902  alephadd 7524  0met 7765  0alg 10533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174

Copyright terms: Public domain