Theorem weth 4711

Description: Well-ordering theorem: any set A can be well-ordered. This is an equivalent of the Axiom of Choice. Theorem 6 of [Suppes] p. 242. First proved by Ernst Zermelo (the "Z" in ZFC) in 1904.

Hypothesis

Ref	Expression
weth.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
weth	|- E.x x We A

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem weth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		weth.1	. . 3 |- A e. V
2	1	numth 4708	. 2 |- E.y e. On E.f f:y-1-1-onto->A
3		f1ocnv 3640	. . . . . 6 |- (f:y-1-1-onto->A -> `'f:A-1-1-onto->y)
4		eqid 1452	. . . . . . . . 9 |- {<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} = {<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)}
5	4	f1owe 3844	. . . . . . . 8 |- (`'f:A-1-1-onto->y -> (E We y -> {<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} We A))
6		weinxp 3195	. . . . . . . . 9 |- ({<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} We A <-> ({<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} i^i (A X. A)) We A)
7	1, 1	xpex 3222	. . . . . . . . . . 11 |- (A X. A) e. V
8	7	inex2 2685	. . . . . . . . . 10 |- ({<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} i^i (A X. A)) e. V
9		weeq1 2900	. . . . . . . . . 10 |- (x = ({<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} i^i (A X. A)) -> (x We A <-> ({<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} i^i (A X. A)) We A))
10	8, 9	cla4ev 1842	. . . . . . . . 9 |- (({<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} i^i (A X. A)) We A -> E.x x We A)
11	6, 10	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ({<.z, w>. | (`'f` z)E(`'f` w)} We A -> E.x x We A)
12	5, 11	syl6 22	. . . . . . 7 |- (`'f:A-1-1-onto->y -> (E We y -> E.x x We A))
13		eloni 2921	. . . . . . . 8 |- (y e. On -> Ord y)
14		ordwe 2924	. . . . . . . 8 |- (Ord y -> E We y)
15	13, 14	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. On -> E We y)
16	12, 15	syl5 21	. . . . . 6 |- (`'f:A-1-1-onto->y -> (y e. On -> E.x x We A))
17	3, 16	syl 10	. . . . 5 |- (f:y-1-1-onto->A -> (y e. On -> E.x x We A))
18	17	19.23aiv 1277	. . . 4 |- (E.f f:y-1-1-onto->A -> (y e. On -> E.x x We A))
19	18	com12 11	. . 3 |- (y e. On -> (E.f f:y-1-1-onto->A -> E.x x We A))
20	19	r19.23aiv 1719	. 2 |- (E.y e. On E.f f:y-1-1-onto->A -> E.x x We A)
21	2, 20	ax-mp 7	1 |- E.x x We A

Syntax hints:   -> wi 3  E.wex 956   e. wcel 1105  E.wrex 1622  Vcvv 1786   i^i cin 2017   class class class wbr 2587  {copab 2634  Ecep 2792   We wwe 2879  Ord word 2910  Oncon0 2911   X. cxp 3131  `'ccnv 3132  -1-1-onto->wf1o 3144  ` cfv 3145

This theorem is referenced by:  zorn2lem7 4718  acdc3 7380  acdc2 7383  acdc5 7386  acdc 7388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-ac 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-suc 2917  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-iso 3162

Copyright terms: Public domain