Theorem wereucl 2946

Description: The unique minimal element of a subset of a well-ordered set.

Hypothesis

Ref	Expression
wereu.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
wereucl	|- ((R We A /\ B (_ A /\ B =/= (/)) -> U.{x e. B | A.y e. B -. yRx} e. B)

Distinct variable groups:   x,y,R   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem wereucl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wereu.1	. . 3 |- B e. V
2	1	wereu 2945	. 2 |- ((R We A /\ B (_ A /\ B =/= (/)) -> E!x e. B A.y e. B -. yRx)
3		reucl 2885	. 2 |- (E!x e. B A.y e. B -. yRx -> U.{x e. B | A.y e. B -. yRx} e. B)
4	2, 3	syl 10	1 |- ((R We A /\ B (_ A /\ B =/= (/)) -> U.{x e. B | A.y e. B -. yRx} e. B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ w3a 775   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E!wreu 1647  {crab 1648  Vcvv 1811   (_ wss 2047  (/)c0 2280  U.cuni 2503   class class class wbr 2619   We wwe 2916

This theorem is referenced by:  htalem 4727  zorn2lem1 4788  acdc3lem 7486  acdc2lem1 7488  acdc5lem1 7491  acdclem 7494

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934

Copyright terms: Public domain