Theorem vtoclrbr 3207

Description: Variable to class conversion of transitive, reflexive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclr.1	|- Rel R
vtoclr.2	|- ((xRy /\ yRz) -> xRz)
vtoclrbr.3	|- xRx

Assertion

Ref	Expression
vtoclrbr	|- ((ARB /\ BRC) -> ARC)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,z,C,y   x,R,y,z

Proof of Theorem vtoclrbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtoclr.1	. . 3 |- Rel R
2		vtoclr.2	. . 3 |- ((xRy /\ yRz) -> xRz)
3	1, 2	vtoclr 3206	. 2 |- (C e. V -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
4		brprc 2656	. . . . 5 |- (-. C e. V -> (ARC <-> ARA))
5		breq1 2617	. . . . . . 7 |- (x = A -> (xRx <-> ARx))
6		breq2 2618	. . . . . . 7 |- (x = A -> (ARx <-> ARA))
7	5, 6	bitrd 527	. . . . . 6 |- (x = A -> (xRx <-> ARA))
8		vtoclrbr.3	. . . . . 6 |- xRx
9	7, 8	vtoclg 1843	. . . . 5 |- (A e. V -> ARA)
10	4, 9	syl5bir 210	. . . 4 |- (-. C e. V -> (A e. V -> ARC))
11	1	brrelexi 3203	. . . 4 |- (ARB -> A e. V)
12	10, 11	syl5 21	. . 3 |- (-. C e. V -> (ARB -> ARC))
13	12	adantrd 391	. 2 |- (-. C e. V -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
14	3, 13	pm2.61i 126	1 |- ((ARB /\ BRC) -> ARC)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  Rel wrel 3170

This theorem is referenced by:  entrt 4401  domtr 4402

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180

Copyright terms: Public domain