Theorem vcm 8186

Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51.

Hypotheses

Ref	Expression
vcm.1	|- G = (1st` W)
vcm.2	|- S = (2nd` W)
vcm.3	|- X = ran G
vcm.4	|- M = (inv` G)

Assertion

Ref	Expression
vcm	|- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) = (M` A))

Proof of Theorem vcm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vcm.3	. . . . 5 |- X = ran G
2	1	grpass 8044	. . . 4 |- ((G e. Grp /\ ((-u1SA) e. X /\ A e. X /\ (M` A) e. X)) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((-u1SA)G(AG(M` A))))
3		vcm.1	. . . . . 6 |- G = (1st` W)
4	3	vcgrp 8173	. . . . 5 |- (W e. CVec -> G e. Grp)
5	4	adantr 391	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> G e. Grp)
6		ax1cn 5281	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
7	6	negcl 5381	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
8		vcm.2	. . . . . . 7 |- S = (2nd` W)
9	3, 8, 1	vccl 8165	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1SA) e. X)
10	7, 9	mp3an2 906	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) e. X)
11		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> A e. X)
12		vcm.4	. . . . . . 7 |- M = (inv` G)
13	1, 12	grpinvcl 8064	. . . . . 6 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (M` A) e. X)
14	13, 4	sylan 450	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (M` A) e. X)
15	10, 11, 14	3jca 821	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA) e. X /\ A e. X /\ (M` A) e. X))
16	2, 5, 15	sylanc 473	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((-u1SA)G(AG(M` A))))
17	3, 8, 1	vcid 8166	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
18	17	opreq2d 3982	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(1SA)) = ((-u1SA)GA))
19	7, 6	addcom 5334	. . . . . . . . 9 |- (-u1 + 1) = (1 + -u1)
20	6	negid 5392	. . . . . . . . 9 |- (1 + -u1) = 0
21	19, 20	eqtr 1498	. . . . . . . 8 |- (-u1 + 1) = 0
22	21	opreq1i 3977	. . . . . . 7 |- ((-u1 + 1)SA) = (0SA)
23	22	a1i 8	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1 + 1)SA) = (0SA))
24	3, 8, 1	vcdir 8168	. . . . . . . 8 |- ((W e. CVec /\ (-u1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
25	7, 24	mp3anr1 915	. . . . . . 7 |- ((W e. CVec /\ (1 e. CC /\ A e. X)) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
26	6, 25	mpanr1 711	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1 + 1)SA) = ((-u1SA)G(1SA)))
27		eqid 1478	. . . . . . 7 |- (Id` G) = (Id` G)
28	3, 8, 1, 27	vc0 8184	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (0SA) = (Id` G))
29	23, 26, 28	3eqtr3d 1518	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(1SA)) = (Id` G))
30	18, 29	eqtr3d 1512	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)GA) = (Id` G))
31	30	opreq1d 3981	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (((-u1SA)GA)G(M` A)) = ((Id` G)G(M` A)))
32	1, 27, 12	grprinv 8067	. . . . 5 |- ((G e. Grp /\ A e. X) -> (AG(M` A)) = (Id` G))
33	32, 4	sylan 450	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (AG(M` A)) = (Id` G))
34	33	opreq2d 3982	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(AG(M` A))) = ((-u1SA)G(Id` G)))
35	16, 31, 34	3eqtr3d 1518	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = ((-u1SA)G(Id` G)))
36	1, 27	grplid 8057	. . 3 |- ((G e. Grp /\ (M` A) e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = (M` A))
37	36, 5, 14	sylanc 473	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((Id` G)G(M` A)) = (M` A))
38	1, 27	grprid 8058	. . 3 |- ((G e. Grp /\ (-u1SA) e. X) -> ((-u1SA)G(Id` G)) = (-u1SA))
39	38, 5, 10	sylanc 473	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((-u1SA)G(Id` G)) = (-u1SA))
40	35, 37, 39	3eqtr3rd 1519	1 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (-u1SA) = (M` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ran crn 3177  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249  -ucneg 5305  Grpcgr 8030  Idcgi 8031  invcgn 8032  CVeccvc 8160

This theorem is referenced by:  vcrinv 8187  vclinv 8188  nvinv 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161

Copyright terms: Public domain