Theorem vcex 8199

Description: The components of a complex vector space are sets.

Assertion

Ref	Expression
vcex	|- (<.G, S>. e. CVec -> (G e. V /\ S e. V))

Proof of Theorem vcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vcrel 8166	. . . . 5 |- Rel CVec
2		df-rel 3185	. . . . 5 |- (Rel CVec <-> CVec (_ (V X. V))
3	1, 2	mpbi 189	. . . 4 |- CVec (_ (V X. V)
4	3	sseli 2065	. . 3 |- (<.G, S>. e. CVec -> <.G, S>. e. (V X. V))
5		opelxp1 3205	. . 3 |- (<.G, S>. e. (V X. V) -> G e. V)
6	4, 5	syl 10	. 2 |- (<.G, S>. e. CVec -> G e. V)
7		eqid 1475	. . . . 5 |- G = G
8		vcoprne 8198	. . . . . 6 |- (<.G, G>. e. CVec -> G =/= G)
9		df-ne 1587	. . . . . 6 |- (G =/= G <-> -. G = G)
10	8, 9	sylib 198	. . . . 5 |- (<.G, G>. e. CVec -> -. G = G)
11	7, 10	mt2 109	. . . 4 |- -. <.G, G>. e. CVec
12		opprc2 2499	. . . . 5 |- (-. S e. V -> <.G, S>. = <.G, G>.)
13	12	eleq1d 1540	. . . 4 |- (-. S e. V -> (<.G, S>. e. CVec <-> <.G, G>. e. CVec))
14	11, 13	mtbiri 717	. . 3 |- (-. S e. V -> -. <.G, S>. e. CVec)
15	14	a3i 74	. 2 |- (<.G, S>. e. CVec -> S e. V)
16	6, 15	jca 288	1 |- (<.G, S>. e. CVec -> (G e. V /\ S e. V))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  Vcvv 1811   (_ wss 2047  <.cop 2411   X. cxp 3168  Rel wrel 3175  CVeccvc 8164

This theorem is referenced by:  isvc 8200  nvex 8230  isnv 8231  h2hsm 8844

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165

Copyright terms: Public domain