Theorem vc2 8174

Description: A vector plus itself is two times the vector.

Hypotheses

Ref	Expression
vci.1	|- G = (1st` W)
vci.2	|- S = (2nd` W)
vci.3	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
vc2	|- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (AGA) = (2SA))

Proof of Theorem vc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vci.1	. . . 4 |- G = (1st` W)
2		vci.2	. . . 4 |- S = (2nd` W)
3		vci.3	. . . 4 |- X = ran G
4	1, 2, 3	vcid 8170	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (1SA) = A)
5	4, 4	opreq12d 3978	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((1SA)G(1SA)) = (AGA))
6		ax1cn 5269	. . . 4 |- 1 e. CC
7	1, 2, 3	vcdir 8172	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ (1 e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
8	6, 7	mp3anr1 913	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ (1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
9	6, 8	mpanr1 709	. . 3 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((1 + 1)SA) = ((1SA)G(1SA)))
10		df-2 5970	. . . 4 |- 2 = (1 + 1)
11	10	opreq1i 3971	. . 3 |- (2SA) = ((1 + 1)SA)
12	9, 11	syl5req 1520	. 2 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> ((1SA)G(1SA)) = (2SA))
13	5, 12	eqtr3d 1509	1 |- ((W e. CVec /\ A e. X) -> (AGA) = (2SA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1stc1st 4077  2ndc2nd 4078  CCcc 5232  1c1 5235   + caddc 5237  2c2 5961  CVeccvc 8164

This theorem is referenced by:  nv2 8253  ipid 8363  ipdirilem 8488

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-1r 5172  df-c 5240  df-1 5242  df-r 5244  df-2 5970  df-vc 8165

Copyright terms: Public domain