Theorem uzwo5OLD 6211

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of upper integers has a unique least element.

Assertion

Ref	Expression
uzwo5OLD	|- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,z,B

Proof of Theorem uzwo5OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzwo4OLD 6210	. . 3 |- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E.x e. A A.y e. A x <_ y)
2		ssrab2 2131	. . . . . . 7 |- {z e. ZZ | B <_ z} (_ ZZ
3		zssre 6142	. . . . . . 7 |- ZZ (_ RR
4	2, 3	sstri 2073	. . . . . 6 |- {z e. ZZ | B <_ z} (_ RR
5		sstr 2072	. . . . . 6 |- ((A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ {z e. ZZ | B <_ z} (_ RR) -> A (_ RR)
6	4, 5	mpan2 696	. . . . 5 |- (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} -> A (_ RR)
7		breq2 2623	. . . . . . . . . . 11 |- (y = w -> (x <_ y <-> x <_ w))
8	7	rcla4v 1873	. . . . . . . . . 10 |- (w e. A -> (A.y e. A x <_ y -> x <_ w))
9		breq2 2623	. . . . . . . . . . 11 |- (y = x -> (w <_ y <-> w <_ x))
10	9	rcla4v 1873	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (A.y e. A w <_ y -> w <_ x))
11	8, 10	im2anan9 563	. . . . . . . . 9 |- ((w e. A /\ x e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (x <_ w /\ w <_ x)))
12	11	ancoms 436	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (x <_ w /\ w <_ x)))
13		ssel 2063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ RR -> (x e. A -> x e. RR))
14		ssel 2063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ RR -> (w e. A -> w e. RR))
15	13, 14	anim12d 558	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A (_ RR -> ((x e. A /\ w e. A) -> (x e. RR /\ w e. RR)))
16	15	impcom 351	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. A /\ w e. A) /\ A (_ RR) -> (x e. RR /\ w e. RR))
17		letri3t 5517	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x = w <-> (x <_ w /\ w <_ x)))
18	16, 17	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. A /\ w e. A) /\ A (_ RR) -> (x = w <-> (x <_ w /\ w <_ x)))
19	18	biimprd 154	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. A /\ w e. A) /\ A (_ RR) -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> x = w))
20	19	ex 373	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ w e. A) -> (A (_ RR -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> x = w)))
21	20	com23 32	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> (A (_ RR -> x = w)))
22	12, 21	syld 27	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (A (_ RR -> x = w)))
23	22	com3r 35	. . . . . 6 |- (A (_ RR -> ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w)))
24	23	r19.21aivv 1720	. . . . 5 |- (A (_ RR -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
25	6, 24	syl 10	. . . 4 |- (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
26	25	ad2antrl 406	. . 3 |- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
27	1, 26	jca 288	. 2 |- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> (E.x e. A A.y e. A x <_ y /\ A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w)))
28		breq1 2622	. . . 4 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
29	28	ralbidv 1663	. . 3 |- (x = w -> (A.y e. A x <_ y <-> A.y e. A w <_ y))
30	29	reu4 1934	. 2 |- (E!x e. A A.y e. A x <_ y <-> (E.x e. A A.y e. A x <_ y /\ A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w)))
31	27, 30	sylibr 200	1 |- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  E!wreu 1647  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <_ cle 5295  ZZcz 5298

This theorem is referenced by:  uzwo3lem1 6216  uzwo3lem2 6217

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

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