Theorem uzwo3lem1 6172

Description: Lemma for uzwo3 6174 and zmin 6175.

Hypothesis

Ref	Expression
uzwo3lem.1	|- R = {z e. ZZ | B <_ z}

Assertion

Ref	Expression
uzwo3lem1	|- (B e. RR -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)

Distinct variable groups:   z,B   x,y,R   y,z

Proof of Theorem uzwo3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnz 6171	. . 3 |- (B e. RR -> (E.v e. ZZ v < B /\ E.z e. ZZ B < z))
2	1	pm3.26d 321	. 2 |- (B e. RR -> E.v e. ZZ v < B)
3		ltletrt 5505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ z e. RR) -> ((v < B /\ B <_ z) -> v < z))
4		ltlet 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((v e. RR /\ z e. RR) -> (v < z -> v <_ z))
5	4	3adant2 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ z e. RR) -> (v < z -> v <_ z))
6	3, 5	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ z e. RR) -> ((v < B /\ B <_ z) -> v <_ z))
7		zret 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. ZZ -> z e. RR)
8	6, 7	syl3an3 860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ z e. ZZ) -> ((v < B /\ B <_ z) -> v <_ z))
9		zret 6094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. ZZ -> v e. RR)
10	8, 9	syl3an1 858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. ZZ /\ B e. RR /\ z e. ZZ) -> ((v < B /\ B <_ z) -> v <_ z))
11	10	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. ZZ /\ B e. RR /\ z e. ZZ) -> (v < B -> (B <_ z -> v <_ z)))
12	11	3exp 831	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. ZZ -> (B e. RR -> (z e. ZZ -> (v < B -> (B <_ z -> v <_ z)))))
13	12	com34 36	. . . . . . . . . . . 12 |- (v e. ZZ -> (B e. RR -> (v < B -> (z e. ZZ -> (B <_ z -> v <_ z)))))
14	13	imp32 363	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> (z e. ZZ -> (B <_ z -> v <_ z)))
15	14	r19.21aiv 1710	. . . . . . . . . 10 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> A.z e. ZZ (B <_ z -> v <_ z))
16		ss2rab 2119	. . . . . . . . . 10 |- ({z e. ZZ | B <_ z} (_ {z e. ZZ | v <_ z} <-> A.z e. ZZ (B <_ z -> v <_ z))
17	15, 16	sylibr 200	. . . . . . . . 9 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> {z e. ZZ | B <_ z} (_ {z e. ZZ | v <_ z})
18		uzwo3lem.1	. . . . . . . . 9 |- R = {z e. ZZ | B <_ z}
19	17, 18	syl5ss 2101	. . . . . . . 8 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> R (_ {z e. ZZ | v <_ z})
20	1	pm3.27d 325	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> E.z e. ZZ B < z)
21		ltlet 5501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. RR /\ z e. RR) -> (B < z -> B <_ z))
22	21, 7	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. RR /\ z e. ZZ) -> (B < z -> B <_ z))
23	22	r19.22dva 1736	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> (E.z e. ZZ B < z -> E.z e. ZZ B <_ z))
24	18	neeq1i 1589	. . . . . . . . . . . 12 |- (R =/= (/) <-> {z e. ZZ | B <_ z} =/= (/))
25		rabn0 2288	. . . . . . . . . . . 12 |- ({z e. ZZ | B <_ z} =/= (/) <-> E.z e. ZZ B <_ z)
26	24, 25	bitr2 174	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. ZZ B <_ z <-> R =/= (/))
27	23, 26	syl6ib 212	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> (E.z e. ZZ B < z -> R =/= (/)))
28	20, 27	mpd 26	. . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> R =/= (/))
29	28	ad2antrl 406	. . . . . . . 8 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> R =/= (/))
30	19, 29	jca 288	. . . . . . 7 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> (R (_ {z e. ZZ | v <_ z} /\ R =/= (/)))
31	30	ex 373	. . . . . 6 |- (v e. ZZ -> ((B e. RR /\ v < B) -> (R (_ {z e. ZZ | v <_ z} /\ R =/= (/))))
32		uzwo5OLD 6167	. . . . . . 7 |- ((v e. ZZ /\ (R (_ {z e. ZZ | v <_ z} /\ R =/= (/))) -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)
33	32	ex 373	. . . . . 6 |- (v e. ZZ -> ((R (_ {z e. ZZ | v <_ z} /\ R =/= (/)) -> E!x e. R A.y e. R x <_ y))
34	31, 33	syld 27	. . . . 5 |- (v e. ZZ -> ((B e. RR /\ v < B) -> E!x e. R A.y e. R x <_ y))
35	34	exp3a 375	. . . 4 |- (v e. ZZ -> (B e. RR -> (v < B -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)))
36	35	com12 11	. . 3 |- (B e. RR -> (v e. ZZ -> (v < B -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)))
37	36	r19.23adv 1743	. 2 |- (B e. RR -> (E.v e. ZZ v < B -> E!x e. R A.y e. R x <_ y))
38	2, 37	mpd 26	1 |- (B e. RR -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643  E!wreu 1644  {crab 1645   (_ wss 2043  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  RRcr 5213   <_ cle 5275  ZZcz 5278   < clt 5466

This theorem is referenced by:  uzwo3lem2 6173  zmin 6175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091

Copyright terms: Public domain