Theorem uzrdgini 6240

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in uzrdgval 6239.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
uzrdgini	|- (A e. B -> ((rec(F, A) o. `'G)` C) = A)

Distinct variable group:   x,y,C

Proof of Theorem uzrdgini

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdg0t 3929	. 2 |- (A e. B -> (rec(F, A)` (/)) = A)
2		breq2 2613	. . . . . 6 |- (z = C -> (C <_ z <-> C <_ C))
3	2	elrab 1896	. . . . 5 |- (C e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (C e. ZZ /\ C <_ C))
4		om2uz.1	. . . . 5 |- C e. ZZ
5	4	zre 6088	. . . . . 6 |- C e. RR
6	5	leid 5584	. . . . 5 |- C <_ C
7	3, 4, 6	mpbir2an 728	. . . 4 |- C e. {z e. ZZ | C <_ z}
8		om2uz.2	. . . . 5 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
9	4, 8	uzrdgval 6239	. . . 4 |- (C e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` C) = (rec(F, A)` (`'G` C)))
10	7, 9	ax-mp 7	. . 3 |- ((rec(F, A) o. `'G)` C) = (rec(F, A)` (`'G` C))
11	4, 8	om2uz0 6232	. . . . 5 |- (G` (/)) = C
12	4, 8	om2uzf1o 6238	. . . . . 6 |- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}
13		peano1 3139	. . . . . 6 |- (/) e. om
14		f1ocnvfv 3865	. . . . . 6 |- ((G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} /\ (/) e. om) -> ((G` (/)) = C -> (`'G` C) = (/)))
15	12, 13, 14	mp2an 695	. . . . 5 |- ((G` (/)) = C -> (`'G` C) = (/))
16	11, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- (`'G` C) = (/)
17	16	fveq2i 3712	. . 3 |- (rec(F, A)` (`'G` C)) = (rec(F, A)` (/))
18	10, 17	eqtr 1487	. 2 |- ((rec(F, A) o. `'G)` C) = (rec(F, A)` (/))
19	1, 18	syl5eq 1511	1 |- (A e. B -> ((rec(F, A) o. `'G)` C) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  {copab 2656  omcom 3121  `'ccnv 3159   |` cres 3162   o. ccom 3164  -1-1-onto->wf1o 3171  ` cfv 3172  reccrdg 3916  (class class class)co 3948  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267  ZZcz 5270

This theorem is referenced by:  uzrdginip1 6242  seq1lem1 6246  seq11lem 6252

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083

Copyright terms: Public domain