Theorem uzind 6153

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- (j = M -> (ph <-> ps))
uzind.2	|- (j = k -> (ph <-> ch))
uzind.3	|- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
uzind.4	|- (j = N -> (ph <-> ta))
uzind.5	|- (M e. ZZ -> ps)
uzind.6	|- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Distinct variable groups:   j,N   ps,j   ch,j   th,j   ta,j   ph,k   j,k,M

Proof of Theorem uzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zret 6086	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
2		leidt 5504	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M <_ M)
3	1, 2	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M <_ M)
4		uzind.5	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ps)
5	3, 4	jca 288	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> (M <_ M /\ ps))
6	5	ancli 296	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
7		breq2 2613	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (M <_ j <-> M <_ M))
8		uzind.1	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (ph <-> ps))
9	7, 8	anbi12d 626	. . . . . . . . 9 |- (j = M -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ M /\ ps)))
10	9	elrab 1896	. . . . . . . 8 |- (M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
11	6, 10	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
12		peano2z 6113	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ)
13	12	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ))
14	13	adantrd 391	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (k + 1) e. ZZ))
15		ltp1t 5767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> k < (k + 1))
16	15	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> k < (k + 1))
17		lelttrt 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. RR /\ k e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
18	17	3expb 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. RR /\ (k e. RR /\ (k + 1) e. RR)) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
19		peano2re 5408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. RR -> (k + 1) e. RR)
20	19	ancli 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> (k e. RR /\ (k + 1) e. RR))
21	18, 20	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
22	16, 21	mpan2d 700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M < (k + 1)))
23		ltlet 5493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
24	23, 19	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
25	22, 24	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
26		zret 6086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
27	25, 1, 26	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
28	27	adantrd 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ k /\ ch) -> M <_ (k + 1)))
29	28	exp4b 379	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> M <_ (k + 1)))))
30	29	imp4d 367	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> M <_ (k + 1)))
31		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))
32	31	3exp 830	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> th))))
33	32	imp4d 367	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> th))
34	30, 33	jcad 598	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (M <_ (k + 1) /\ th)))
35	14, 34	jcad 598	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th))))
36		breq2 2613	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (M <_ j <-> M <_ k))
37		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (ph <-> ch))
38	36, 37	anbi12d 626	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ k /\ ch)))
39	38	elrab 1896	. . . . . . . . 9 |- (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)))
40		breq2 2613	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (M <_ j <-> M <_ (k + 1)))
41		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
42	40, 41	anbi12d 626	. . . . . . . . . 10 |- (j = (k + 1) -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ (k + 1) /\ th)))
43	42	elrab 1896	. . . . . . . . 9 |- ((k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th)))
44	35, 39, 43	3imtr4g 551	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} -> (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
45	44	r19.21aiv 1705	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
46		zex 6091	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. V
47	46	rabex 2715	. . . . . . . 8 |- {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} e. V
48	47	peano5uzt 6152	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> ((M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} /\ A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}) -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
49	11, 45, 48	mp2and 701	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> {w e. ZZ | M <_ w} (_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
50	49	sseld 2057	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (N e. {w e. ZZ | M <_ w} -> N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
51		breq2 2613	. . . . . 6 |- (w = N -> (M <_ w <-> M <_ N))
52	51	elrab 1896	. . . . 5 |- (N e. {w e. ZZ | M <_ w} <-> (N e. ZZ /\ M <_ N))
53		breq2 2613	. . . . . . 7 |- (j = N -> (M <_ j <-> M <_ N))
54		uzind.4	. . . . . . 7 |- (j = N -> (ph <-> ta))
55	53, 54	anbi12d 626	. . . . . 6 |- (j = N -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ N /\ ta)))
56	55	elrab 1896	. . . . 5 |- (N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
57	50, 52, 56	3imtr3g 550	. . . 4 |- (M e. ZZ -> ((N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta))))
58	57	3impib 829	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
59	58	pm3.27d 325	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (M <_ N /\ ta))
60	59	pm3.27d 325	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  {crab 1640   (_ wss 2037   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458

This theorem is referenced by:  uzind2 6154  uzind3 6155  nn0ind 6160  om2uzran 6237

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083

Copyright terms: Public domain