HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem uzaddclt 6449
Description: Addition closure law for a set of upper integers.
Assertion
Ref Expression
uzaddclt |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. NN0) -> (N + K) e. (ZZ>` M))
Proof of Theorem uzaddclt
StepHypRef Expression
1 ax1cn 5269 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
2 axaddass 5277 . . . . . . . . . 10 |- ((N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
31, 2mp3an3 905 . . . . . . . . 9 |- ((N e. CC /\ k e. CC) -> ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
4 eluzelz 6423 . . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
5 zcnt 6140 . . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
64, 5syl 10 . . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. CC)
7 nn0cnt 6109 . . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> k e. CC)
83, 6, 7syl2an 454 . . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ k e. NN0) -> ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
98ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ N e. (ZZ>` M)) -> ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
109adantr 389 . . . . . 6 |- (((k e. NN0 /\ N e. (ZZ>` M)) /\ (N + k) e. (ZZ>` M)) -> ((N + k) + 1) = (N + (k + 1)))
11 peano2uz 6447 . . . . . . 7 |- ((N + k) e. (ZZ>` M) -> ((N + k) + 1) e. (ZZ>` M))
1211adantl 388 . . . . . 6 |- (((k e. NN0 /\ N e. (ZZ>` M)) /\ (N + k) e. (ZZ>` M)) -> ((N + k) + 1) e. (ZZ>` M))
1310, 12eqeltrrd 1549 . . . . 5 |- (((k e. NN0 /\ N e. (ZZ>` M)) /\ (N + k) e. (ZZ>` M)) -> (N + (k + 1)) e. (ZZ>` M))
1413exp31 376 . . . 4 |- (k e. NN0 -> (N e. (ZZ>` M) -> ((N + k) e. (ZZ>` M) -> (N + (k + 1)) e. (ZZ>` M))))
1514a2d 13 . . 3 |- (k e. NN0 -> ((N e. (ZZ>` M) -> (N + k) e. (ZZ>` M)) -> (N e. (ZZ>` M) -> (N + (k + 1)) e. (ZZ>` M))))
16 ax0id 5281 . . . . . 6 |- (N e. CC -> (N + 0) = N)
176, 16syl 10 . . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 0) = N)
1817eleq1d 1540 . . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((N + 0) e. (ZZ>` M) <-> N e. (ZZ>` M)))
1918ibir 593 . . 3 |- (N e. (ZZ>` M) -> (N + 0) e. (ZZ>` M))
20 opreq2 3969 . . . . 5 |- (j = 0 -> (N + j) = (N + 0))
2120eleq1d 1540 . . . 4 |- (j = 0 -> ((N + j) e. (ZZ>` M) <-> (N + 0) e. (ZZ>` M)))
2221imbi2d 612 . . 3 |- (j = 0 -> ((N e. (ZZ>` M) -> (N + j) e. (ZZ>` M)) <-> (N e. (ZZ>` M) -> (N + 0) e. (ZZ>` M))))
23 opreq2 3969 . . . . 5 |- (j = k -> (N + j) = (N + k))
2423eleq1d 1540 . . . 4 |- (j = k -> ((N + j) e. (ZZ>` M) <-> (N + k) e. (ZZ>` M)))
2524imbi2d 612 . . 3 |- (j = k -> ((N e. (ZZ>` M) -> (N + j) e. (ZZ>` M)) <-> (N e. (ZZ>` M) -> (N + k) e. (ZZ>` M))))
26 opreq2 3969 . . . . 5 |- (j = (k + 1) -> (N + j) = (N + (k + 1)))
2726eleq1d 1540 . . . 4 |- (j = (k + 1) -> ((N + j) e. (ZZ>` M) <-> (N + (k + 1)) e. (ZZ>` M)))
2827imbi2d 612 . . 3 |- (j = (k + 1) -> ((N e. (ZZ>` M) -> (N + j) e. (ZZ>` M)) <-> (N e. (ZZ>` M) -> (N + (k + 1)) e. (ZZ>` M))))
29 opreq2 3969 . . . . 5 |- (j = K -> (N + j) = (N + K))
3029eleq1d 1540 . . . 4 |- (j = K -> ((N + j) e. (ZZ>` M) <-> (N + K) e. (ZZ>` M)))
3130imbi2d 612 . . 3 |- (j = K -> ((N e. (ZZ>` M) -> (N + j) e. (ZZ>` M)) <-> (N e. (ZZ>` M) -> (N + K) e. (ZZ>` M))))
3215, 19, 22, 25, 28, 31nn0indALT 6213 . 2 |- (K e. NN0 -> (N e. (ZZ>` M) -> (N + K) e. (ZZ>` M)))
3332impcom 351 1 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. NN0) -> (N + K) e. (ZZ>` M))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237  NN0cn0 5297  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417
This theorem is referenced by:  fsum4 7025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-uz 6418
Copyright terms: Public domain