Theorem unoplin 11273

Description: A unitary operator is linear. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72.

Assertion

Ref	Expression
unoplin	|- (T e. UniOp -> T e. LinOp)

Proof of Theorem unoplin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 11269	. . . 4 |- (T e. UniOp -> T:~H-1-1-onto->~H)
2		f1of 4446	. . . 4 |- (T:~H-1-1-onto->~H -> T:~H-->~H)
3	1, 2	syl 12	. . 3 |- (T e. UniOp -> T:~H-->~H)
4		unopadj 11272	. . . . . . . . . 10 |- ((T e. UniOp /\ ((x .h y) +h z) e. ~H /\ w e. ~H) -> ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h y) +h z) .ih (`'T` w)))
5		pm3.26 344	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> T e. UniOp)
6	5	ad2antrr 438	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> T e. UniOp)
7		hvaddcl 10306	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x .h y) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
8		hvmulcl 10307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (x .h y) e. ~H)
9	7, 8	sylan 495	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
10	9	adantll 426	. . . . . . . . . . 11 |- (((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
11	10	adantr 423	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x .h y) +h z) e. ~H)
12		pm3.27 348	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> w e. ~H)
13	4, 6, 11, 12	syl3anc 975	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h y) +h z) .ih (`'T` w)))
14		hiassdi 10382	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. CC /\ y e. ~H) /\ (z e. ~H /\ (`'T` w) e. ~H)) -> (((x .h y) +h z) .ih (`'T` w)) = ((x x. (y .ih (`'T` w))) + (z .ih (`'T` w))))
15		simprl 448	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> x e. CC)
16	15	ad2antrr 438	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> x e. CC)
17		simprr 449	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> y e. ~H)
18	17	ad2antrr 438	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> y e. ~H)
19		simplr 447	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> z e. ~H)
20		ffvelrn 4598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((`'T:~H-->~H /\ w e. ~H) -> (`'T` w) e. ~H)
21		cnvunop 11271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (T e. UniOp -> `'T e. UniOp)
22		unopf1o 11269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (`'T e. UniOp -> `'T:~H-1-1-onto->~H)
23		f1of 4446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (`'T:~H-1-1-onto->~H -> `'T:~H-->~H)
24	21, 22, 23	3syl 24	. . . . . . . . . . . . 13 |- (T e. UniOp -> `'T:~H-->~H)
25	20, 24	sylan 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. UniOp /\ w e. ~H) -> (`'T` w) e. ~H)
26	25	adantlr 427	. . . . . . . . . . 11 |- (((T e. UniOp /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (`'T` w) e. ~H)
27	26	adantllr 431	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (`'T` w) e. ~H)
28	14, 16, 18, 19, 27	syl2anc 525	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (((x .h y) +h z) .ih (`'T` w)) = ((x x. (y .ih (`'T` w))) + (z .ih (`'T` w))))
29		hiassdi 10382	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CC /\ (T` y) e. ~H) /\ ((T` z) e. ~H /\ w e. ~H)) -> (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) = ((x x. ((T` y) .ih w)) + ((T` z) .ih w)))
30		ffvelrn 4598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T:~H-->~H /\ y e. ~H) -> (T` y) e. ~H)
31	30, 3	sylan 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H) -> (T` y) e. ~H)
32	31	adantrl 428	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (T` y) e. ~H)
33	32	ad2antrr 438	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (T` y) e. ~H)
34		ffvelrn 4598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((T:~H-->~H /\ z e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
35	34, 3	sylan 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. UniOp /\ z e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
36	35	adantr 423	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. UniOp /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
37	36	adantllr 431	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
38	29, 16, 33, 37, 12	syl2anc 525	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) = ((x x. ((T` y) .ih w)) + ((T` z) .ih w)))
39		unopadj 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((T e. UniOp /\ y e. ~H /\ w e. ~H) -> ((T` y) .ih w) = (y .ih (`'T` w)))
40	39	3expa 946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((T e. UniOp /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` y) .ih w) = (y .ih (`'T` w)))
41	40	opreq2d 4709	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((T e. UniOp /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> (x x. ((T` y) .ih w)) = (x x. (y .ih (`'T` w))))
42	41	adantlrl 432	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ w e. ~H) -> (x x. ((T` y) .ih w)) = (x x. (y .ih (`'T` w))))
43	42	adantlr 427	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> (x x. ((T` y) .ih w)) = (x x. (y .ih (`'T` w))))
44		unopadj 11272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. UniOp /\ z e. ~H /\ w e. ~H) -> ((T` z) .ih w) = (z .ih (`'T` w)))
45	44	3expa 946	. . . . . . . . . . . 12 |- (((T e. UniOp /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` z) .ih w) = (z .ih (`'T` w)))
46	45	adantllr 431	. . . . . . . . . . 11 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` z) .ih w) = (z .ih (`'T` w)))
47	43, 46	opreq12d 4711	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x x. ((T` y) .ih w)) + ((T` z) .ih w)) = ((x x. (y .ih (`'T` w))) + (z .ih (`'T` w))))
48	38, 47	eqtr2d 1763	. . . . . . . . 9 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x x. (y .ih (`'T` w))) + (z .ih (`'T` w))) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w))
49	13, 28, 48	3eqtrd 1766	. . . . . . . 8 |- ((((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w))
50	49	r19.21aiva 2010	. . . . . . 7 |- (((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> A.w e. ~H ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w))
51		hial2eq 10397	. . . . . . . . 9 |- (((T` ((x .h y) +h z)) e. ~H /\ ((x .h (T` y)) +h (T` z)) e. ~H) -> (A.w e. ~H ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) <-> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
52		ffvelrn 4598	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:~H-->~H /\ ((x .h y) +h z) e. ~H) -> (T` ((x .h y) +h z)) e. ~H)
53	52, 9	sylan2 498	. . . . . . . . . 10 |- ((T:~H-->~H /\ ((x e. CC /\ y e. ~H) /\ z e. ~H)) -> (T` ((x .h y) +h z)) e. ~H)
54	53	anassrs 487	. . . . . . . . 9 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (T` ((x .h y) +h z)) e. ~H)
55		hvaddcl 10306	. . . . . . . . . 10 |- (((x .h (T` y)) e. ~H /\ (T` z) e. ~H) -> ((x .h (T` y)) +h (T` z)) e. ~H)
56		hvmulcl 10307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ (T` y) e. ~H) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
57	56, 30	sylan2 498	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. CC /\ (T:~H-->~H /\ y e. ~H)) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
58	57	an1s 541	. . . . . . . . . . 11 |- ((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
59	58	adantr 423	. . . . . . . . . 10 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (x .h (T` y)) e. ~H)
60	34	adantlr 427	. . . . . . . . . 10 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (T` z) e. ~H)
61	55, 59, 60	sylanc 521	. . . . . . . . 9 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> ((x .h (T` y)) +h (T` z)) e. ~H)
62	51, 54, 61	sylanc 521	. . . . . . . 8 |- (((T:~H-->~H /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (A.w e. ~H ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) <-> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
63	62, 3	sylanl1 507	. . . . . . 7 |- (((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (A.w e. ~H ((T` ((x .h y) +h z)) .ih w) = (((x .h (T` y)) +h (T` z)) .ih w) <-> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
64	50, 63	mpbid 211	. . . . . 6 |- (((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) /\ z e. ~H) -> (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
65	64	r19.21aiva 2010	. . . . 5 |- ((T e. UniOp /\ (x e. CC /\ y e. ~H)) -> A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
66	65	ex 400	. . . 4 |- (T e. UniOp -> ((x e. CC /\ y e. ~H) -> A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
67	66	r19.21aivv 2017	. . 3 |- (T e. UniOp -> A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z)))
68	3, 67	jca 308	. 2 |- (T e. UniOp -> (T:~H-->~H /\ A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
69		ellnop 11213	. 2 |- (T e. LinOp <-> (T:~H-->~H /\ A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H (T` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (T` y)) +h (T` z))))
70	68, 69	sylibr 216	1 |- (T e. UniOp -> T e. LinOp)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  A.wral 1939  `'ccnv 3796  -->wf 3805  -1-1-onto->wf1o 3808  ` cfv 3809  (class class class)co 4695  CCcc 6180   + caddc 6185   x. cmul 6187  ~Hchil 10212   +h cva 10213   .h csm 10214   .ih csp 10217  LinOpclo 10240  UniOpcuo 10242

This theorem is referenced by:  unopadj2 11291  idlnop 11346  elunop2 11367  nmopun 11368  unopbd 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540  ax-hilex 10293  ax-hfvadd 10294  ax-hvcom 10295  ax-hvass 10296  ax-hv0cl 10297  ax-hvaddid 10298  ax-hfvmul 10299  ax-hvmulid 10300  ax-hvdistr2 10303  ax-hvmul0 10304  ax-hfi 10371  ax-his1 10374  ax-his2 10375  ax-his3 10376  ax-his4 10377

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454  df-div 6688  df-re 7796  df-im 7797  df-cj 7798  df-hvsub 10264  df-lnop 11196  df-unop 11198

Copyright terms: Public domain