Theorem uniun 2519

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53.

Assertion

Ref	Expression
uniun	|- U.(A u. B) = (U.A u. U.B)

Proof of Theorem uniun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1088	. . . 4 |- (E.y((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) \/ E.y(x e. y /\ y e. B)))
2		elun 2173	. . . . . . 7 |- (y e. (A u. B) <-> (y e. A \/ y e. B))
3	2	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> (x e. y /\ (y e. A \/ y e. B)))
4		andi 604	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ (y e. A \/ y e. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
6	5	exbii 1051	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
7		eluni 2506	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y(x e. y /\ y e. A))
8		eluni 2506	. . . . 5 |- (x e. U.B <-> E.y(x e. y /\ y e. B))
9	7, 8	orbi12i 257	. . . 4 |- ((x e. U.A \/ x e. U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) \/ E.y(x e. y /\ y e. B)))
10	1, 6, 9	3bitr4 183	. . 3 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> (x e. U.A \/ x e. U.B))
11		eluni 2506	. . 3 |- (x e. U.(A u. B) <-> E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)))
12		elun 2173	. . 3 |- (x e. (U.A u. U.B) <-> (x e. U.A \/ x e. U.B))
13	10, 11, 12	3bitr4 183	. 2 |- (x e. U.(A u. B) <-> x e. (U.A u. U.B))
14	13	eqriv 1474	1 |- U.(A u. B) = (U.A u. U.B)

Syntax hints:   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   u. cun 2045  U.cuni 2503

This theorem is referenced by:  unidif0 2739  unisuc 3046  onuninsuc 3108  oaabs 4252  unifiOLD 4557

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-v 1812  df-un 2050  df-uni 2504

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