Theorem unitgt 7623

Description: The topology generated by a basis B is a topology on U.B. Importantly, this theorem means that we don't have to specify separately the base set for the topological space generated by a basis. In other words, any member of the class Bases completely specifies the basis it corresponds to.

Assertion

Ref	Expression
unitgt	|- (B e. Bases -> U.(topGen` B) = U.B)

Proof of Theorem unitgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltgt 7618	. . . . . 6 |- (B e. Bases -> (y e. (topGen` B) <-> y (_ U.(B i^i P~y)))
2		inss1 2230	. . . . . . . . 9 |- (B i^i P~y) (_ B
3		uniss 2521	. . . . . . . . 9 |- ((B i^i P~y) (_ B -> U.(B i^i P~y) (_ U.B)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- U.(B i^i P~y) (_ U.B
5		sstr 2072	. . . . . . . 8 |- ((y (_ U.(B i^i P~y) /\ U.(B i^i P~y) (_ U.B) -> y (_ U.B)
6	4, 5	mpan2 696	. . . . . . 7 |- (y (_ U.(B i^i P~y) -> y (_ U.B)
7	6	sseld 2067	. . . . . 6 |- (y (_ U.(B i^i P~y) -> (x e. y -> x e. U.B))
8	1, 7	syl6bi 214	. . . . 5 |- (B e. Bases -> (y e. (topGen` B) -> (x e. y -> x e. U.B)))
9	8	r19.23adv 1746	. . . 4 |- (B e. Bases -> (E.y e. (topGen` B)x e. y -> x e. U.B))
10		eluni2 2507	. . . 4 |- (x e. U.(topGen` B) <-> E.y e. (topGen` B)x e. y)
11	9, 10	syl5ib 206	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. U.(topGen` B) -> x e. U.B))
12		bastgt 7622	. . . . 5 |- (B e. Bases -> B (_ (topGen` B))
13		uniss 2521	. . . . 5 |- (B (_ (topGen` B) -> U.B (_ U.(topGen` B))
14	12, 13	syl 10	. . . 4 |- (B e. Bases -> U.B (_ U.(topGen` B))
15	14	sseld 2067	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. U.B -> x e. U.(topGen` B)))
16	11, 15	impbid 516	. 2 |- (B e. Bases -> (x e. U.(topGen` B) <-> x e. U.B))
17	16	eqrdv 1473	1 |- (B e. Bases -> U.(topGen` B) = U.B)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646   i^i cin 2046   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem is referenced by:  tgclt 7624  uniretop 7657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-bases 7594  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain