Theorem uniixp 4357

Description: The union of an infinite Cartesian product is included in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
uniixp	|- U.X_x e. A B (_ (A X. U_x e. A B)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem uniixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 2506	. . . 4 |- (y e. U.X_x e. A B <-> E.f(y e. f /\ f e. X_x e. A B))
2		ixpf 4356	. . . . . 6 |- (f e. X_x e. A B -> f:A-->U_x e. A B)
3	2	anim2i 335	. . . . 5 |- ((y e. f /\ f e. X_x e. A B) -> (y e. f /\ f:A-->U_x e. A B))
4	3	19.22i 1040	. . . 4 |- (E.f(y e. f /\ f e. X_x e. A B) -> E.f(y e. f /\ f:A-->U_x e. A B))
5	1, 4	sylbi 199	. . 3 |- (y e. U.X_x e. A B -> E.f(y e. f /\ f:A-->U_x e. A B))
6		fssxp 3637	. . . . . 6 |- (f:A-->U_x e. A B -> f (_ (A X. U_x e. A B))
7	6	sseld 2067	. . . . 5 |- (f:A-->U_x e. A B -> (y e. f -> y e. (A X. U_x e. A B)))
8	7	impcom 351	. . . 4 |- ((y e. f /\ f:A-->U_x e. A B) -> y e. (A X. U_x e. A B))
9	8	19.23aiv 1295	. . 3 |- (E.f(y e. f /\ f:A-->U_x e. A B) -> y e. (A X. U_x e. A B))
10	5, 9	syl 10	. 2 |- (y e. U.X_x e. A B -> y e. (A X. U_x e. A B))
11	10	ssriv 2069	1 |- U.X_x e. A B (_ (A X. U_x e. A B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 958  E.wex 980   (_ wss 2047  U.cuni 2503  U_ciun 2566   X. cxp 3168  -->wf 3178  X_cixp 4347

This theorem is referenced by:  ixpexg 4358

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-ixp 4348

Copyright terms: Public domain