Theorem uniin 2520

Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
uniin	|- U.(A i^i B) (_ (U.A i^i U.B)

Proof of Theorem uniin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1094	. . 3 |- (E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)) -> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
2		eluni 2506	. . . 4 |- (x e. U.(A i^i B) <-> E.y(x e. y /\ y e. (A i^i B)))
3		elin 2207	. . . . . . 7 |- (y e. (A i^i B) <-> (y e. A /\ y e. B))
4	3	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> (x e. y /\ (y e. A /\ y e. B)))
5		anandi 510	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ (y e. A /\ y e. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
6	4, 5	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
7	6	exbii 1051	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
8	2, 7	bitr 173	. . 3 |- (x e. U.(A i^i B) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
9		elin 2207	. . . 4 |- (x e. (U.A i^i U.B) <-> (x e. U.A /\ x e. U.B))
10		eluni 2506	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y(x e. y /\ y e. A))
11		eluni 2506	. . . . 5 |- (x e. U.B <-> E.y(x e. y /\ y e. B))
12	10, 11	anbi12i 482	. . . 4 |- ((x e. U.A /\ x e. U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
13	9, 12	bitr 173	. . 3 |- (x e. (U.A i^i U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
14	1, 8, 13	3imtr4 219	. 2 |- (x e. U.(A i^i B) -> x e. (U.A i^i U.B))
15	14	ssriv 2069	1 |- U.(A i^i B) (_ (U.A i^i U.B)

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 958  E.wex 980   i^i cin 2046   (_ wss 2047  U.cuni 2503

This theorem is referenced by:  tgvalt 7616  uninqs 10441  filintf 10569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-v 1812  df-in 2051  df-ss 2053  df-uni 2504

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