Theorem uniimadom 4810

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99.

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadom.1	|- A e. V
uniimadom.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
uniimadom	|- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem uniimadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 4415	. 2 |- ((U.(F"A) ~<_ ((F"A) X. B) /\ ((F"A) X. B) ~<_ (A X. B)) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))
2		uniimadom.2	. . . 4 |- B e. V
3		unidomg 4809	. . . 4 |- (((F"A) e. V /\ B e. V /\ A.y e. (F"A)y ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ ((F"A) X. B))
4	2, 3	mp3an2 904	. . 3 |- (((F"A) e. V /\ A.y e. (F"A)y ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ ((F"A) X. B))
5		uniimadom.1	. . . . 5 |- A e. V
6	5	funimaex 3576	. . . 4 |- (Fun F -> (F"A) e. V)
7	6	adantr 389	. . 3 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> (F"A) e. V)
8		fvelima 3764	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ y e. (F"A)) -> E.x e. A (F` x) = y)
9	8	ex 373	. . . . . . 7 |- (Fun F -> (y e. (F"A) -> E.x e. A (F` x) = y))
10		breq1 2622	. . . . . . . . . 10 |- ((F` x) = y -> ((F` x) ~<_ B <-> y ~<_ B))
11	10	biimpd 153	. . . . . . . . 9 |- ((F` x) = y -> ((F` x) ~<_ B -> y ~<_ B))
12	11	r19.22si 1734	. . . . . . . 8 |- (E.x e. A (F` x) = y -> E.x e. A ((F` x) ~<_ B -> y ~<_ B))
13		r19.36av 1760	. . . . . . . 8 |- (E.x e. A ((F` x) ~<_ B -> y ~<_ B) -> (A.x e. A (F` x) ~<_ B -> y ~<_ B))
14	12, 13	syl 10	. . . . . . 7 |- (E.x e. A (F` x) = y -> (A.x e. A (F` x) ~<_ B -> y ~<_ B))
15	9, 14	syl6 22	. . . . . 6 |- (Fun F -> (y e. (F"A) -> (A.x e. A (F` x) ~<_ B -> y ~<_ B)))
16	15	com23 32	. . . . 5 |- (Fun F -> (A.x e. A (F` x) ~<_ B -> (y e. (F"A) -> y ~<_ B)))
17	16	imp 350	. . . 4 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> (y e. (F"A) -> y ~<_ B))
18	17	r19.21aiv 1713	. . 3 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> A.y e. (F"A)y ~<_ B)
19	4, 7, 18	sylanc 471	. 2 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ ((F"A) X. B))
20		imadomg 4806	. . . . 5 |- (A e. V -> (Fun F -> (F"A) ~<_ A))
21	5, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- (Fun F -> (F"A) ~<_ A)
22	5, 2	xpdom1 4443	. . . 4 |- ((F"A) ~<_ A -> ((F"A) X. B) ~<_ (A X. B))
23	21, 22	syl 10	. . 3 |- (Fun F -> ((F"A) X. B) ~<_ (A X. B))
24	23	adantr 389	. 2 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> ((F"A) X. B) ~<_ (A X. B))
25	1, 19, 24	sylanc 471	1 |- ((Fun F /\ A.x e. A (F` x) ~<_ B) -> U.(F"A) ~<_ (A X. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811  U.cuni 2503   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  "cima 3173  Fun wfun 3176  ` cfv 3182   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  uniimadomf 4811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-en 4368  df-dom 4369  df-r1 4643  df-rank 4644

Copyright terms: Public domain