Theorem unifi2 4558

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi (future) is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 4547).

Assertion

Ref	Expression
unifi2	|- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> U.A ~< om)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem unifi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unifiOLD 4557	. . . . 5 |- ((E.n e. om A ~~ n /\ A.x e. A E.n e. om x ~~ n) -> E.n e. om U.A ~~ n)
2		isfinite2OLD 4546	. . . . 5 |- (A ~< om -> E.n e. om A ~~ n)
3		isfinite2OLD 4546	. . . . . 6 |- (x ~< om -> E.n e. om x ~~ n)
4	3	r19.20si 1706	. . . . 5 |- (A.x e. A x ~< om -> A.x e. A E.n e. om x ~~ n)
5	1, 2, 4	syl2an 454	. . . 4 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> E.n e. om U.A ~~ n)
6		isfinite1OLD 4531	. . . 4 |- (E.n e. om U.A ~~ n -> (U.A ~<_ om /\ -. om ~~ U.A))
7	5, 6	syl 10	. . 3 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> (U.A ~<_ om /\ -. om ~~ U.A))
8		fin2inf 4547	. . . . . . 7 |- (A ~< om -> om e. V)
9		ensymg 4411	. . . . . . 7 |- (om e. V -> (U.A ~~ om -> om ~~ U.A))
10	8, 9	syl 10	. . . . . 6 |- (A ~< om -> (U.A ~~ om -> om ~~ U.A))
11	10	con3d 95	. . . . 5 |- (A ~< om -> (-. om ~~ U.A -> -. U.A ~~ om))
12	11	adantr 389	. . . 4 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> (-. om ~~ U.A -> -. U.A ~~ om))
13	12	anim2d 561	. . 3 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> ((U.A ~<_ om /\ -. om ~~ U.A) -> (U.A ~<_ om /\ -. U.A ~~ om)))
14	7, 13	mpd 26	. 2 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> (U.A ~<_ om /\ -. U.A ~~ om))
15		brsdom 4381	. 2 |- (U.A ~< om <-> (U.A ~<_ om /\ -. U.A ~~ om))
16	14, 15	sylibr 200	1 |- ((A ~< om /\ A.x e. A x ~< om) -> U.A ~< om)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  omcom 3131   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365   ~< csdm 4366

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-er 4261  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370

Copyright terms: Public domain