Theorem unielrel 3514

Description: The membership relation for a relation is inherited by class union.

Assertion

Ref	Expression
unielrel	|- ((Rel R /\ A e. R) -> U.A e. U.R)

Proof of Theorem unielrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniopel 2809	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. R -> U.<.x, y>. e. U.R)
2	1	a1i 8	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (<.x, y>. e. R -> U.<.x, y>. e. U.R))
3		eleq1 1534	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (A e. R <-> <.x, y>. e. R))
4		unieq 2510	. . . . 5 |- (A = <.x, y>. -> U.A = U.<.x, y>.)
5	4	eleq1d 1540	. . . 4 |- (A = <.x, y>. -> (U.A e. U.R <-> U.<.x, y>. e. U.R))
6	2, 3, 5	3imtr4d 543	. . 3 |- (A = <.x, y>. -> (A e. R -> U.A e. U.R))
7	6	19.23aivv 1296	. 2 |- (E.xE.y A = <.x, y>. -> (A e. R -> U.A e. U.R))
8		elrel 3253	. 2 |- ((Rel R /\ A e. R) -> E.xE.y A = <.x, y>.)
9		pm3.27 323	. 2 |- ((Rel R /\ A e. R) -> A e. R)
10	7, 8, 9	sylc 68	1 |- ((Rel R /\ A e. R) -> U.A e. U.R)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  <.cop 2411  U.cuni 2503  Rel wrel 3175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185

Copyright terms: Public domain