Theorem unialeph 4867

Description: The union of the class of transfinite cardinals (the range of the aleph function) is the class of ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
unialeph	|- U.ran aleph = On

Proof of Theorem unialeph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephprc 4865	. . . 4 |- -. ran aleph e. V
2		uniexb 2897	. . . 4 |- (ran aleph e. V <-> U.ran aleph e. V)
3	1, 2	mtbi 191	. . 3 |- -. U.ran aleph e. V
4		elisset 1808	. . 3 |- (U.ran aleph e. On -> U.ran aleph e. V)
5	3, 4	mto 106	. 2 |- -. U.ran aleph e. On
6		alephsson 4866	. . . . 5 |- ran aleph (_ On
7		ssorduni 2983	. . . . 5 |- (ran aleph (_ On -> Ord U.ran aleph)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- Ord U.ran aleph
9		ordeleqon 2980	. . . 4 |- (Ord U.ran aleph <-> (U.ran aleph e. On \/ U.ran aleph = On))
10	8, 9	mpbi 189	. . 3 |- (U.ran aleph e. On \/ U.ran aleph = On)
11	10	ori 230	. 2 |- (-. U.ran aleph e. On -> U.ran aleph = On)
12	5, 11	ax-mp 7	1 |- U.ran aleph = On

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 222   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037  U.cuni 2493  Ord word 2937  Oncon0 2938  ran crn 3161  alephcale 4786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-card 4788  df-aleph 4789

Copyright terms: Public domain