Theorem uni0b 2523

Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set.

Assertion

Ref	Expression
uni0b	|- (U.A = (/) <-> A (_ {(/)})

Proof of Theorem uni0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsn 2421	. . 3 |- (x e. {(/)} <-> x = (/))
2	1	ralbii 1667	. 2 |- (A.x e. A x e. {(/)} <-> A.x e. A x = (/))
3		dfss3 2059	. 2 |- (A (_ {(/)} <-> A.x e. A x e. {(/)})
4		n0 2289	. . . 4 |- (-. U.A = (/) <-> E.y y e. U.A)
5		rexcom4 1824	. . . . 5 |- (E.x e. A E.y y e. x <-> E.yE.x e. A y e. x)
6		n0 2289	. . . . . 6 |- (-. x = (/) <-> E.y y e. x)
7	6	rexbii 1668	. . . . 5 |- (E.x e. A -. x = (/) <-> E.x e. A E.y y e. x)
8		eluni2 2507	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.x e. A y e. x)
9	8	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.y y e. U.A <-> E.yE.x e. A y e. x)
10	5, 7, 9	3bitr4r 184	. . . 4 |- (E.y y e. U.A <-> E.x e. A -. x = (/))
11		rexnal 1654	. . . 4 |- (E.x e. A -. x = (/) <-> -. A.x e. A x = (/))
12	4, 10, 11	3bitr 177	. . 3 |- (-. U.A = (/) <-> -. A.x e. A x = (/))
13	12	con4bii 523	. 2 |- (U.A = (/) <-> A.x e. A x = (/))
14	2, 3, 13	3bitr4r 184	1 |- (U.A = (/) <-> A (_ {(/)})

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409  U.cuni 2503

This theorem is referenced by:  uni0c 2524  uni0 2525  infxpidmlem8 7559  0top 7635  cctop 7652  top2usne 10549

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-sn 2412  df-uni 2504

Copyright terms: Public domain