Theorem unfilem2 4525

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite.

Hypotheses

Ref	Expression
unfilem1.1	|- A e. om
unfilem1.2	|- B e. om
unfilem1.3	|- F = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}

Assertion

Ref	Expression
unfilem2	|- F:B-1-1-onto->((A +o B) \ A)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem unfilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 3187	. 2 |- (F:B-1-1-onto->((A +o B) \ A) <-> (F:B-1-1->((A +o B) \ A) /\ F:B-onto->((A +o B) \ A)))
2		f1fv 3859	. . 3 |- (F:B-1-1->((A +o B) \ A) <-> (F:B-->((A +o B) \ A) /\ A.z e. B A.w e. B ((F` z) = (F` w) -> z = w)))
3		df-fo 3186	. . . . 5 |- (F:B-onto->((A +o B) \ A) <-> (F Fn B /\ ran F = ((A +o B) \ A)))
4		oprex 3968	. . . . . 6 |- (A +o x) e. V
5		unfilem1.3	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}
6	4, 5	fnopab2 3604	. . . . 5 |- F Fn B
7		unfilem1.1	. . . . . 6 |- A e. om
8		unfilem1.2	. . . . . 6 |- B e. om
9	7, 8, 5	unfilem1 4524	. . . . 5 |- ran F = ((A +o B) \ A)
10	3, 6, 9	mpbir2an 728	. . . 4 |- F:B-onto->((A +o B) \ A)
11		fof 3657	. . . 4 |- (F:B-onto->((A +o B) \ A) -> F:B-->((A +o B) \ A))
12	10, 11	ax-mp 7	. . 3 |- F:B-->((A +o B) \ A)
13		opreq2 3954	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (A +o x) = (A +o z))
14		oprex 3968	. . . . . . . 8 |- (A +o z) e. V
15	13, 5, 14	fvopab4 3765	. . . . . . 7 |- (z e. B -> (F` z) = (A +o z))
16		opreq2 3954	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (A +o x) = (A +o w))
17		oprex 3968	. . . . . . . 8 |- (A +o w) e. V
18	16, 5, 17	fvopab4 3765	. . . . . . 7 |- (w e. B -> (F` w) = (A +o w))
19	15, 18	eqeqan12d 1482	. . . . . 6 |- ((z e. B /\ w e. B) -> ((F` z) = (F` w) <-> (A +o z) = (A +o w)))
20		nnacan 4226	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ z e. om /\ w e. om) -> ((A +o z) = (A +o w) <-> z = w))
21	7, 20	mp3an1 900	. . . . . . 7 |- ((z e. om /\ w e. om) -> ((A +o z) = (A +o w) <-> z = w))
22		elnn 3132	. . . . . . . 8 |- ((z e. B /\ B e. om) -> z e. om)
23	8, 22	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (z e. B -> z e. om)
24		elnn 3132	. . . . . . . 8 |- ((w e. B /\ B e. om) -> w e. om)
25	8, 24	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (w e. B -> w e. om)
26	21, 23, 25	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((z e. B /\ w e. B) -> ((A +o z) = (A +o w) <-> z = w))
27	19, 26	bitrd 526	. . . . 5 |- ((z e. B /\ w e. B) -> ((F` z) = (F` w) <-> z = w))
28	27	biimpd 153	. . . 4 |- ((z e. B /\ w e. B) -> ((F` z) = (F` w) -> z = w))
29	28	rgen2a 1691	. . 3 |- A.z e. B A.w e. B ((F` z) = (F` w) -> z = w)
30	2, 12, 29	mpbir2an 728	. 2 |- F:B-1-1->((A +o B) \ A)
31	1, 30, 10	mpbir2an 728	1 |- F:B-1-1-onto->((A +o B) \ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637   \ cdif 2034  {copab 2656  omcom 3121  ran crn 3161   Fn wfn 3167  -->wf 3168  -1-1->wf1 3169  -onto->wfo 3170  -1-1-onto->wf1o 3171  ` cfv 3172  (class class class)co 3948   +o coa 4114

This theorem is referenced by:  unfilem3 4526

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119

Copyright terms: Public domain