Theorem unfi2 4535

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 4534 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 4533).

Assertion

Ref	Expression
unfi2	|- ((A ~< om /\ B ~< om) -> (A u. B) ~< om)

Proof of Theorem unfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 4534	. . . . 5 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.x e. om B ~~ x) -> E.x e. om (A u. B) ~~ x)
2		isfinite2 4529	. . . . 5 |- (A ~< om -> E.x e. om A ~~ x)
3		isfinite2 4529	. . . . 5 |- (B ~< om -> E.x e. om B ~~ x)
4	1, 2, 3	syl2an 454	. . . 4 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> E.x e. om (A u. B) ~~ x)
5		isfinite1 4516	. . . 4 |- (E.x e. om (A u. B) ~~ x -> ((A u. B) ~<_ om /\ -. om ~~ (A u. B)))
6	4, 5	syl 10	. . 3 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> ((A u. B) ~<_ om /\ -. om ~~ (A u. B)))
7		fin2inf 4533	. . . . . . 7 |- (A ~< om -> om e. V)
8		ensymg 4398	. . . . . . 7 |- (om e. V -> ((A u. B) ~~ om -> om ~~ (A u. B)))
9	7, 8	syl 10	. . . . . 6 |- (A ~< om -> ((A u. B) ~~ om -> om ~~ (A u. B)))
10	9	con3d 95	. . . . 5 |- (A ~< om -> (-. om ~~ (A u. B) -> -. (A u. B) ~~ om))
11	10	adantr 389	. . . 4 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> (-. om ~~ (A u. B) -> -. (A u. B) ~~ om))
12	11	anim2d 560	. . 3 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> (((A u. B) ~<_ om /\ -. om ~~ (A u. B)) -> ((A u. B) ~<_ om /\ -. (A u. B) ~~ om)))
13	6, 12	mpd 26	. 2 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> ((A u. B) ~<_ om /\ -. (A u. B) ~~ om))
14		brsdom 4369	. 2 |- ((A u. B) ~< om <-> ((A u. B) ~<_ om /\ -. (A u. B) ~~ om))
15	13, 14	sylibr 200	1 |- ((A ~< om /\ B ~< om) -> (A u. B) ~< om)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956  E.wrex 1643  Vcvv 1807   u. cun 2041   class class class wbr 2614  omcom 3126   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  cdafi 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-oadd 4125  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359

Copyright terms: Public domain