Theorem unfi 4528

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144.

Assertion

Ref	Expression
unfi	|- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.x e. om B ~~ x) -> E.x e. om (A u. B) ~~ x)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem unfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 1770	. . . 4 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) <-> (E.x e. om A ~~ x /\ E.y e. om (B \ A) ~~ y))
2		undif2 2331	. . . . . . . . . 10 |- (A u. (B \ A)) = (A u. B)
3	2	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (A u. (B \ A)) = (A u. B))
4		nnaword1 4228	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om /\ y e. om) -> x (_ (x +o y))
5		undif 2333	. . . . . . . . . 10 |- (x (_ (x +o y) <-> (x u. ((x +o y) \ x)) = (x +o y))
6	4, 5	sylib 198	. . . . . . . . 9 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (x u. ((x +o y) \ x)) = (x +o y))
7	3, 6	breq12d 2621	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)) <-> (A u. B) ~~ (x +o y)))
8		difdisj 2327	. . . . . . . . . 10 |- (A i^i (B \ A)) = (/)
9		difdisj 2327	. . . . . . . . . 10 |- (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/)
10	8, 9	pm3.2i 285	. . . . . . . . 9 |- ((A i^i (B \ A)) = (/) /\ (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/))
11		unen 4414	. . . . . . . . 9 |- (((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) /\ ((A i^i (B \ A)) = (/) /\ (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/))) -> (A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)))
12	10, 11	mpan2 694	. . . . . . . 8 |- ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) -> (A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)))
13	7, 12	syl5bi 208	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) -> (A u. B) ~~ (x +o y)))
14		unfilem3 4526	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ y e. om) -> y ~~ ((x +o y) \ x))
15		entrt 4395	. . . . . . . . 9 |- (((B \ A) ~~ y /\ y ~~ ((x +o y) \ x)) -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x))
16	15	expcom 374	. . . . . . . 8 |- (y ~~ ((x +o y) \ x) -> ((B \ A) ~~ y -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)))
17	14, 16	syl 10	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((B \ A) ~~ y -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)))
18	13, 17	sylan2d 458	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> (A u. B) ~~ (x +o y)))
19		nnacl 4213	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (x +o y) e. om)
20		breq2 2613	. . . . . . . . 9 |- (z = (x +o y) -> ((A u. B) ~~ z <-> (A u. B) ~~ (x +o y)))
21	20	rcla4ev 1868	. . . . . . . 8 |- (((x +o y) e. om /\ (A u. B) ~~ (x +o y)) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
22	21	ex 373	. . . . . . 7 |- ((x +o y) e. om -> ((A u. B) ~~ (x +o y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z))
23	19, 22	syl 10	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A u. B) ~~ (x +o y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z))
24	18, 23	syld 27	. . . . 5 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z))
25	24	r19.23aivv 1740	. . . 4 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
26	1, 25	sylbir 201	. . 3 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.y e. om (B \ A) ~~ y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
27		breq2 2613	. . . . 5 |- (x = y -> (B ~~ x <-> B ~~ y))
28	27	cbvrexv 1792	. . . 4 |- (E.x e. om B ~~ x <-> E.y e. om B ~~ y)
29		difss 2157	. . . . 5 |- (B \ A) (_ B
30		ssfi 4515	. . . . 5 |- ((E.y e. om B ~~ y /\ (B \ A) (_ B) -> E.y e. om (B \ A) ~~ y)
31	29, 30	mpan2 694	. . . 4 |- (E.y e. om B ~~ y -> E.y e. om (B \ A) ~~ y)
32	28, 31	sylbi 199	. . 3 |- (E.x e. om B ~~ x -> E.y e. om (B \ A) ~~ y)
33	26, 32	sylan2 451	. 2 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.x e. om B ~~ x) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
34		breq2 2613	. . 3 |- (z = x -> ((A u. B) ~~ z <-> (A u. B) ~~ x))
35	34	cbvrexv 1792	. 2 |- (E.z e. om (A u. B) ~~ z <-> E.x e. om (A u. B) ~~ x)
36	33, 35	sylib 198	1 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.x e. om B ~~ x) -> E.x e. om (A u. B) ~~ x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638   \ cdif 2034   u. cun 2035   i^i cin 2036   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  omcom 3121  (class class class)co 3948   +o coa 4114   ~~ cen 4348

This theorem is referenced by:  unfi2 4529  prfi 4531  unifi 4532  abfii4 4538  pwfilem 4544  subbas 7586  fctop 7592  infi1 10347  ficli 10368  infi 10448

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119  df-er 4245  df-en 4351

Copyright terms: Public domain