Theorem unexb 2873

Description: Existence of union is equivalent to existence of its components.

Assertion

Ref	Expression
unexb	|- ((A e. V /\ B e. V) <-> (A u. B) e. V)

Proof of Theorem unexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 2177	. . . 4 |- (x = A -> (x u. y) = (A u. y))
2	1	eleq1d 1540	. . 3 |- (x = A -> ((x u. y) e. V <-> (A u. y) e. V))
3		uneq2 2178	. . . 4 |- (y = B -> (A u. y) = (A u. B))
4	3	eleq1d 1540	. . 3 |- (y = B -> ((A u. y) e. V <-> (A u. B) e. V))
5		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
6		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
7	5, 6	unex 2872	. . 3 |- (x u. y) e. V
8	2, 4, 7	vtocl2g 1850	. 2 |- ((A e. V /\ B e. V) -> (A u. B) e. V)
9		ssun1 2193	. . . 4 |- A (_ (A u. B)
10		ssexg 2721	. . . 4 |- ((A (_ (A u. B) /\ (A u. B) e. V) -> A e. V)
11	9, 10	mpan 695	. . 3 |- ((A u. B) e. V -> A e. V)
12		ssun2 2194	. . . 4 |- B (_ (A u. B)
13		ssexg 2721	. . . 4 |- ((B (_ (A u. B) /\ (A u. B) e. V) -> B e. V)
14	12, 13	mpan 695	. . 3 |- ((A u. B) e. V -> B e. V)
15	11, 14	jca 288	. 2 |- ((A u. B) e. V -> (A e. V /\ B e. V))
16	8, 15	impbi 157	1 |- ((A e. V /\ B e. V) <-> (A u. B) e. V)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   u. cun 2045   (_ wss 2047

This theorem is referenced by:  unexg 2874  difex2 2877  sucexb 3048  unen 4434  fodomr 4483  cdavalt 4919  cnfilca 10583  cnfilcaOLD 10584

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-uni 2504

Copyright terms: Public domain