Theorem uncld 7681

Description: The union of two closed sets is closed. Equivalent to Theorem 6.1(3) of [Munkres] p. 93.

Assertion

Ref	Expression
uncld	|- ((J e. Top /\ A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J)) -> (A u. B) e. (Clsd` J))

Proof of Theorem uncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . . . . . 8 |- U.J = U.J
2	1	cldopn 7672	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ A e. (Clsd` J)) -> (U.J \ A) e. J)
3	1	cldopn 7672	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ B e. (Clsd` J)) -> (U.J \ B) e. J)
4	2, 3	anim12i 333	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ A e. (Clsd` J)) /\ (J e. Top /\ B e. (Clsd` J))) -> ((U.J \ A) e. J /\ (U.J \ B) e. J))
5	4	anandis 512	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> ((U.J \ A) e. J /\ (U.J \ B) e. J))
6		inopnt 7600	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (U.J \ A) e. J /\ (U.J \ B) e. J) -> ((U.J \ A) i^i (U.J \ B)) e. J)
7	6	3expb 834	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ ((U.J \ A) e. J /\ (U.J \ B) e. J)) -> ((U.J \ A) i^i (U.J \ B)) e. J)
8	5, 7	syldan 467	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> ((U.J \ A) i^i (U.J \ B)) e. J)
9		difundi 2257	. . . 4 |- (U.J \ (A u. B)) = ((U.J \ A) i^i (U.J \ B))
10	8, 9	syl5eqel 1552	. . 3 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> (U.J \ (A u. B)) e. J)
11	1	cldss 7671	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ A e. (Clsd` J)) -> A (_ U.J)
12	1	cldss 7671	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ B e. (Clsd` J)) -> B (_ U.J)
13	11, 12	anim12i 333	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ A e. (Clsd` J)) /\ (J e. Top /\ B e. (Clsd` J))) -> (A (_ U.J /\ B (_ U.J))
14	13	anandis 512	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> (A (_ U.J /\ B (_ U.J))
15		unss 2204	. . . . 5 |- ((A (_ U.J /\ B (_ U.J) <-> (A u. B) (_ U.J)
16	14, 15	sylib 198	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> (A u. B) (_ U.J)
17	1	iscld2 7670	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (A u. B) (_ U.J) -> ((A u. B) e. (Clsd` J) <-> (U.J \ (A u. B)) e. J))
18	16, 17	syldan 467	. . 3 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> ((A u. B) e. (Clsd` J) <-> (U.J \ (A u. B)) e. J))
19	10, 18	mpbird 196	. 2 |- ((J e. Top /\ (A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J))) -> (A u. B) e. (Clsd` J))
20	19	3impb 829	1 |- ((J e. Top /\ A e. (Clsd` J) /\ B e. (Clsd` J)) -> (A u. B) e. (Clsd` J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958   \ cdif 2044   u. cun 2045   i^i cin 2046   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Topctop 7588  Clsdccld 7660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-top 7592  df-cld 7663

Copyright terms: Public domain