Theorem unbnn 4527

Description: Any unbounded subset of natural numbers is equinumerous to the set of all natural numbers. Part of the proof of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. See unbnnt 4619 for a stronger version without the hypothesis.

Hypothesis

Ref	Expression
unbnn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
unbnn	|- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem unbnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 4443	. 2 |- ((A ~<_ om /\ om ~<_ A) -> A ~~ om)
2		unbnn.1	. . . 4 |- A e. V
3		ssdomg 4395	. . . 4 |- (A e. V -> (A (_ om -> A ~<_ om))
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- (A (_ om -> A ~<_ om)
5	4	adantr 389	. 2 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~<_ om)
6		hbopab1 2808	. . . . . 6 |- (x e. {<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)} -> A.z x e. {<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)})
7		ax-17 969	. . . . . 6 |- (x e. |^|A -> A.z x e. |^|A)
8	6, 7	hbrdg 3927	. . . . 5 |- (x e. rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) -> A.z x e. rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A))
9		ax-17 969	. . . . 5 |- (x e. om -> A.z x e. om)
10	8, 9	hbres 3362	. . . 4 |- (x e. (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om) -> A.z x e. (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om))
11		eqid 1473	. . . 4 |- (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om) = (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om)
12	10, 11	unblem4 4526	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> (rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A)
13		f1dom2g 4384	. . . 4 |- (A e. V -> ((rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A -> om ~<_ A))
14	2, 13	ax-mp 7	. . 3 |- ((rec({<.z, w>. | w = |^|(A \ suc z)}, |^|A) |` om):om-1-1->A -> om ~<_ A)
15	12, 14	syl 10	. 2 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> om ~<_ A)
16	1, 5, 15	sylanc 471	1 |- ((A (_ om /\ A.x e. om E.y e. A x e. y) -> A ~~ om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   \ cdif 2040   (_ wss 2043  |^|cint 2528   class class class wbr 2614  {copab 2661  suc csuc 2945  omcom 3126   |` cres 3167  -1-1->wf1 3174  reccrdg 3922   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  unbnn2 4528  isfinite2 4529  unbnnt 4619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain