Theorem unbndrank 4683

Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
unbndrank	|- (-. A e. V -> A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem unbndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 4671	. . . . . . . 8 |- (rank` y) e. On
2		ontri1 2981	. . . . . . . 8 |- (((rank` y) e. On /\ x e. On) -> ((rank` y) (_ x <-> -. x e. (rank` y)))
3	1, 2	mpan 695	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((rank` y) (_ x <-> -. x e. (rank` y)))
4	3	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.y e. A (rank` y) (_ x <-> A.y e. A -. x e. (rank` y)))
5		ralnex 1653	. . . . . 6 |- (A.y e. A -. x e. (rank` y) <-> -. E.y e. A x e. (rank` y))
6	4, 5	syl6bb 536	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.y e. A (rank` y) (_ x <-> -. E.y e. A x e. (rank` y)))
7	6	rexbiia 1674	. . . 4 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x <-> E.x e. On -. E.y e. A x e. (rank` y))
8		rexnal 1654	. . . 4 |- (E.x e. On -. E.y e. A x e. (rank` y) <-> -. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))
9	7, 8	bitr 173	. . 3 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x <-> -. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))
10		bndrank 4682	. . 3 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x -> A e. V)
11	9, 10	sylbir 201	. 2 |- (-. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y) -> A e. V)
12	11	con1i 96	1 |- (-. A e. V -> A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  Oncon0 2948  ` cfv 3182  rankcrnk 4642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-r1 4643  df-rank 4644

Copyright terms: Public domain