Theorem unblem4 4543

Description: Lemma for unbnn 4544. The function F maps the set of natural numbers one-to-one to the set of unbounded natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem4	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-1-1->A)

Distinct variable groups:   x,y,w,v,A   w,F,v

Proof of Theorem unblem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmo 4257	. 2 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.z e. om (F` z) e. (F` suc z)) -> F:om-1-1->A)
2		omsson 3136	. . . . 5 |- om (_ On
3		sstr 2072	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
4	2, 3	mpan2 696	. . . 4 |- (A (_ om -> A (_ On)
5	4	adantr 389	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A (_ On)
6		unblem.1	. . . . . 6 |- (w e. F -> A.x w e. F)
7		unblem.2	. . . . . 6 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
8	6, 7	unblem2 4541	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))
9	8	r19.21aiv 1713	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A.z e. om (F` z) e. A)
10		frfnom 3951	. . . . . 6 |- (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om
11		fneq1 3582	. . . . . . 7 |- (F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) -> (F Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om))
12	7, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (F Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om)
13	10, 12	mpbir 190	. . . . 5 |- F Fn om
14		ffnfv 3828	. . . . . 6 |- (F:om-->A <-> (F Fn om /\ A.z e. om (F` z) e. A))
15	14	biimpr 152	. . . . 5 |- ((F Fn om /\ A.z e. om (F` z) e. A) -> F:om-->A)
16	13, 15	mpan 695	. . . 4 |- (A.z e. om (F` z) e. A -> F:om-->A)
17	9, 16	syl 10	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-->A)
18	5, 17	jca 288	. 2 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (A (_ On /\ F:om-->A))
19	6, 7	unblem3 4542	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))
20	19	r19.21aiv 1713	. 2 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A.z e. om (F` z) e. (F` suc z))
21	1, 18, 20	sylanc 471	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-1-1->A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   \ cdif 2044   (_ wss 2047  |^|cint 2533  {copab 2666  Oncon0 2948  suc csuc 2950  omcom 3131   |` cres 3172   Fn wfn 3177  -->wf 3178  -1-1->wf1 3179  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem is referenced by:  unbnn 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain