Theorem unblem3 4519

Description: Lemma for unbnn 4521. The value of the function F is less than its value at a successor.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem3	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unblem.1	. . . . . . 7 |- (w e. F -> A.x w e. F)
2		unblem.2	. . . . . . 7 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
3	1, 2	unblem2 4518	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))
4	3	imp 350	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. A)
5		omsson 3126	. . . . . . . 8 |- om (_ On
6		sstr 2062	. . . . . . . 8 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
7	5, 6	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (A (_ om -> A (_ On)
8		ssel 2053	. . . . . . . 8 |- (A (_ On -> ((F` z) e. A -> (F` z) e. On))
9	8	anc2li 302	. . . . . . 7 |- (A (_ On -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
10	7, 9	syl 10	. . . . . 6 |- (A (_ om -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
11	10	ad2antrr 404	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
12	4, 11	mpd 26	. . . 4 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (A (_ On /\ (F` z) e. On))
13		onmindif 3050	. . . 4 |- ((A (_ On /\ (F` z) e. On) -> (F` z) e. |^|(A \ suc (F` z)))
14	12, 13	syl 10	. . 3 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. |^|(A \ suc (F` z)))
15		unblem1 4517	. . . . . . 7 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` z) e. A) -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A)
16	15	ex 373	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> ((F` z) e. A -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A))
17	3, 16	syld 27	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A))
18		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (w e. |^|A -> A.x w e. |^|A)
19		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (w e. z -> A.x w e. z)
20		ax-17 968	. . . . . . . . 9 |- (w e. A -> A.x w e. A)
21	1, 19	hbfv 3714	. . . . . . . . . 10 |- (w e. (F` z) -> A.x w e. (F` z))
22	21	hbsuc 3030	. . . . . . . . 9 |- (w e. suc (F` z) -> A.x w e. suc (F` z))
23	20, 22	hbdif 2151	. . . . . . . 8 |- (w e. (A \ suc (F` z)) -> A.x w e. (A \ suc (F` z)))
24	23	hbint 2533	. . . . . . 7 |- (w e. |^|(A \ suc (F` z)) -> A.x w e. |^|(A \ suc (F` z)))
25		suceq 3024	. . . . . . . . 9 |- (x = (F` z) -> suc x = suc (F` z))
26	25	difeq2d 2149	. . . . . . . 8 |- (x = (F` z) -> (A \ suc x) = (A \ suc (F` z)))
27	26	inteqd 2528	. . . . . . 7 |- (x = (F` z) -> |^|(A \ suc x) = |^|(A \ suc (F` z)))
28	18, 19, 24, 2, 27	frsucopab 3939	. . . . . 6 |- ((z e. om /\ |^|(A \ suc (F` z)) e. A) -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z)))
29	28	ex 373	. . . . 5 |- (z e. om -> (|^|(A \ suc (F` z)) e. A -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z))))
30	17, 29	sylcom 51	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z))))
31	30	imp 350	. . 3 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z)))
32	14, 31	eleqtrrd 1543	. 2 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. (F` suc z))
33	32	ex 373	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638   \ cdif 2034   (_ wss 2037  |^|cint 2523  {copab 2656  Oncon0 2938  suc csuc 2940  omcom 3121   |` cres 3162  ` cfv 3172  reccrdg 3916

This theorem is referenced by:  unblem4 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917

Copyright terms: Public domain