Theorem unblem1 4540

Description: Lemma for unbnn 4544. After removing the successor of an element from an unbounded set of natural numbers, the intersection of the result belongs to the original unbounded set.

Assertion

Ref	Expression
unblem1	|- (((B (_ om /\ A.x e. om E.y e. B x e. y) /\ A e. B) -> |^|(B \ suc A) e. B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem unblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 3136	. . . . . 6 |- om (_ On
2		sstr 2072	. . . . . 6 |- ((B (_ om /\ om (_ On) -> B (_ On)
3	1, 2	mpan2 696	. . . . 5 |- (B (_ om -> B (_ On)
4		ssdifss 2168	. . . . 5 |- (B (_ On -> (B \ suc A) (_ On)
5	3, 4	syl 10	. . . 4 |- (B (_ om -> (B \ suc A) (_ On)
6	5	ad2antrr 404	. . 3 |- (((B (_ om /\ A.x e. om E.y e. B x e. y) /\ A e. B) -> (B \ suc A) (_ On)
7		ssel 2063	. . . . . . . . . . . 12 |- (B (_ om -> (y e. B -> y e. om))
8		nnord 3140	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. om -> Ord y)
9		ordn2lp 2968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Ord y -> -. (y e. suc A /\ suc A e. y))
10		imnan 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. suc A -> -. suc A e. y) <-> -. (y e. suc A /\ suc A e. y))
11	9, 10	sylibr 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Ord y -> (y e. suc A -> -. suc A e. y))
12	11	con2d 91	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord y -> (suc A e. y -> -. y e. suc A))
13	8, 12	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. om -> (suc A e. y -> -. y e. suc A))
14	7, 13	syl6 22	. . . . . . . . . . 11 |- (B (_ om -> (y e. B -> (suc A e. y -> -. y e. suc A)))
15	14	imdistand 445	. . . . . . . . . 10 |- (B (_ om -> ((y e. B /\ suc A e. y) -> (y e. B /\ -. y e. suc A)))
16		eldif 2057	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. (B \ suc A) <-> (y e. B /\ -. y e. suc A))
17		ne0i 2286	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. (B \ suc A) -> (B \ suc A) =/= (/))
18	16, 17	sylbir 201	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. B /\ -. y e. suc A) -> (B \ suc A) =/= (/))
19	15, 18	syl6 22	. . . . . . . . 9 |- (B (_ om -> ((y e. B /\ suc A e. y) -> (B \ suc A) =/= (/)))
20	19	exp3a 375	. . . . . . . 8 |- (B (_ om -> (y e. B -> (suc A e. y -> (B \ suc A) =/= (/))))
21	20	r19.23adv 1746	. . . . . . 7 |- (B (_ om -> (E.y e. B suc A e. y -> (B \ suc A) =/= (/)))
22		eleq1 1534	. . . . . . . . 9 |- (x = suc A -> (x e. y <-> suc A e. y))
23	22	rexbidv 1664	. . . . . . . 8 |- (x = suc A -> (E.y e. B x e. y <-> E.y e. B suc A e. y))
24	23	rcla4cva 1876	. . . . . . 7 |- ((A.x e. om E.y e. B x e. y /\ suc A e. om) -> E.y e. B suc A e. y)
25	21, 24	syl5 21	. . . . . 6 |- (B (_ om -> ((A.x e. om E.y e. B x e. y /\ suc A e. om) -> (B \ suc A) =/= (/)))
26		ssel 2063	. . . . . . 7 |- (B (_ om -> (A e. B -> A e. om))
27		peano2b 3147	. . . . . . 7 |- (A e. om <-> suc A e. om)
28	26, 27	syl6ib 212	. . . . . 6 |- (B (_ om -> (A e. B -> suc A e. om))
29	25, 28	sylan2d 458	. . . . 5 |- (B (_ om -> ((A.x e. om E.y e. B x e. y /\ A e. B) -> (B \ suc A) =/= (/)))
30	29	exp3a 375	. . . 4 |- (B (_ om -> (A.x e. om E.y e. B x e. y -> (A e. B -> (B \ suc A) =/= (/))))
31	30	imp31 362	. . 3 |- (((B (_ om /\ A.x e. om E.y e. B x e. y) /\ A e. B) -> (B \ suc A) =/= (/))
32	6, 31	jca 288	. 2 |- (((B (_ om /\ A.x e. om E.y e. B x e. y) /\ A e. B) -> ((B \ suc A) (_ On /\ (B \ suc A) =/= (/)))
33		onint 3006	. 2 |- (((B \ suc A) (_ On /\ (B \ suc A) =/= (/)) -> |^|(B \ suc A) e. (B \ suc A))
34		eldifi 2162	. 2 |- (|^|(B \ suc A) e. (B \ suc A) -> |^|(B \ suc A) e. B)
35	32, 33, 34	3syl 20	1 |- (((B (_ om /\ A.x e. om E.y e. B x e. y) /\ A e. B) -> |^|(B \ suc A) e. B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   \ cdif 2044   (_ wss 2047  (/)c0 2280  |^|cint 2533  Ord word 2947  Oncon0 2948  suc csuc 2950  omcom 3131

This theorem is referenced by:  unblem2 4541  unblem3 4542

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132

Copyright terms: Public domain