Theorem ubthlem7 8535

Description: Lemma for ubthi 8544. Auxiliary class Q is a vector.

Hypotheses

Ref	Expression
ubthlem7.1	|- X = (Base` U)
ubthlem7.7	|- U e. NrmCVec
ubthlem7.n	|- L = (norm` U)
ubthlem7.g	|- G = (+v` U)
ubthlem7.m	|- M = (-v` U)
ubthlem7.r	|- R = (.s` U)
ubthlem7.z	|- Z = (0v` U)
ubthlem7.q	|- Q = (pG(((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx))

Assertion

Ref	Expression
ubthlem7	|- ((p e. X /\ (r e. RR /\ (x e. X /\ x =/= Z))) -> Q e. X)

Proof of Theorem ubthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ubthlem7.7	. . . 4 |- U e. NrmCVec
2		ubthlem7.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
3		ubthlem7.g	. . . . 5 |- G = (+v` U)
4	2, 3	nvgcl 8239	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ p e. X /\ (((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx) e. X) -> (pG(((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx)) e. X)
5	1, 4	mp3an1 903	. . 3 |- ((p e. X /\ (((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx) e. X) -> (pG(((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx)) e. X)
6		ubthlem7.r	. . . . . 6 |- R = (.s` U)
7	2, 6	nvscl 8247	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ ((r / 2) x. (1 / (L` x))) e. CC /\ x e. X) -> (((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx) e. X)
8	1, 7	mp3an1 903	. . . 4 |- ((((r / 2) x. (1 / (L` x))) e. CC /\ x e. X) -> (((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx) e. X)
9		axmulcl 5273	. . . . 5 |- (((r / 2) e. CC /\ (1 / (L` x)) e. CC) -> ((r / 2) x. (1 / (L` x))) e. CC)
10		rehalfclt 6034	. . . . . 6 |- (r e. RR -> (r / 2) e. RR)
11	10	recnd 5315	. . . . 5 |- (r e. RR -> (r / 2) e. CC)
12		recclt 5715	. . . . . 6 |- (((L` x) e. CC /\ (L` x) =/= 0) -> (1 / (L` x)) e. CC)
13		ubthlem7.n	. . . . . . . . . 10 |- L = (norm` U)
14	2, 13	nvcl 8287	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X) -> (L` x) e. RR)
15	1, 14	mpan 695	. . . . . . . 8 |- (x e. X -> (L` x) e. RR)
16	15	recnd 5315	. . . . . . 7 |- (x e. X -> (L` x) e. CC)
17	16	adantr 389	. . . . . 6 |- ((x e. X /\ x =/= Z) -> (L` x) e. CC)
18		ubthlem7.z	. . . . . . . . . 10 |- Z = (0v` U)
19	2, 18, 13	nvz 8297	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X) -> ((L` x) = 0 <-> x = Z))
20	1, 19	mpan 695	. . . . . . . 8 |- (x e. X -> ((L` x) = 0 <-> x = Z))
21	20	necon3bid 1601	. . . . . . 7 |- (x e. X -> ((L` x) =/= 0 <-> x =/= Z))
22	21	biimpar 417	. . . . . 6 |- ((x e. X /\ x =/= Z) -> (L` x) =/= 0)
23	12, 17, 22	sylanc 471	. . . . 5 |- ((x e. X /\ x =/= Z) -> (1 / (L` x)) e. CC)
24	9, 11, 23	syl2an 454	. . . 4 |- ((r e. RR /\ (x e. X /\ x =/= Z)) -> ((r / 2) x. (1 / (L` x))) e. CC)
25		simprl 414	. . . 4 |- ((r e. RR /\ (x e. X /\ x =/= Z)) -> x e. X)
26	8, 24, 25	sylanc 471	. . 3 |- ((r e. RR /\ (x e. X /\ x =/= Z)) -> (((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx) e. X)
27	5, 26	sylan2 451	. 2 |- ((p e. X /\ (r e. RR /\ (x e. X /\ x =/= Z))) -> (pG(((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx)) e. X)
28		ubthlem7.q	. 2 |- Q = (pG(((r / 2) x. (1 / (L` x)))Rx))
29	27, 28	syl5eqel 1552	1 |- ((p e. X /\ (r e. RR /\ (x e. X /\ x =/= Z))) -> Q e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239   / cdiv 5294  2c2 5961  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  0vcn0v 8207  -vcnsb 8208  normcnm 8209

This theorem is referenced by:  ubthlem8 8536  ubthlem9 8537  ubthlem11 8539  ubthlem12 8540

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-2 5970  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain