Theorem ubthlem2 8530

Description: Lemma for ubthi 8544. A` k is a set of vectors.

Hypotheses

Ref	Expression
ubthlem1.1	|- X = (Base` U)
ubthlem1.11	|- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}

Assertion

Ref	Expression
ubthlem2	|- (k e. NN -> (A` k) (_ X)

Distinct variable groups:   h,j,y,z,N   T,h,j,y,z   j,X,y,z   h,k,j,y,z

Proof of Theorem ubthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ubthlem1.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		ubthlem1.11	. . . . 5 |- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}
3	1, 2	ubthlem1 8529	. . . 4 |- (k e. NN -> (p e. (A` k) <-> (p e. X /\ A.m e. NN (N` ((T` m)` p)) <_ k)))
4	3	pm3.26bda 420	. . 3 |- ((k e. NN /\ p e. (A` k)) -> p e. X)
5	4	ex 373	. 2 |- (k e. NN -> (p e. (A` k) -> p e. X))
6	5	ssrdv 2070	1 |- (k e. NN -> (A` k) (_ X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {crab 1648   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  {copab 2666  ` cfv 3182   <_ cle 5295  NNcn 5296  Basecba 8205

This theorem is referenced by:  ubthlem3 8531  ubthlem4 8532  ubthlem5 8533  ubthlem6 8534

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain