Theorem ubthlem1 8529

Description: Lemma for ubthi 8544. Membership in A` k, the set of all vectors (T` n)` z whose norm is less than k.

Hypotheses

Ref	Expression
ubthlem1.1	|- X = (Base` U)
ubthlem1.11	|- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}

Assertion

Ref	Expression
ubthlem1	|- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)))

Distinct variable groups:   h,j,n,y,z,N   P,h,n,z   T,h,j,n,y,z   j,X,y,z   h,k,j,n,y,z

Proof of Theorem ubthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2623	. . . . . . 7 |- (j = k -> ((N` ((T` h)` z)) <_ j <-> (N` ((T` h)` z)) <_ k))
2	1	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (j = k -> (A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j <-> A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k))
3	2	rabbisdv 1807	. . . . 5 |- (j = k -> {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j} = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k})
4		ubthlem1.11	. . . . 5 |- A = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ j})}
5		ubthlem1.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
6		fvex 3732	. . . . . . 7 |- (Base` U) e. V
7	5, 6	eqeltr 1544	. . . . . 6 |- X e. V
8	7	rabex 2725	. . . . 5 |- {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k} e. V
9	3, 4, 8	fvopab4 3780	. . . 4 |- (k e. NN -> (A` k) = {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k})
10	9	eleq2d 1541	. . 3 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> P e. {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k}))
11		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (z = P -> ((T` h)` z) = ((T` h)` P))
12	11	fveq2d 3728	. . . . . 6 |- (z = P -> (N` ((T` h)` z)) = (N` ((T` h)` P)))
13	12	breq1d 2629	. . . . 5 |- (z = P -> ((N` ((T` h)` z)) <_ k <-> (N` ((T` h)` P)) <_ k))
14	13	ralbidv 1663	. . . 4 |- (z = P -> (A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k <-> A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k))
15	14	elrab 1905	. . 3 |- (P e. {z e. X | A.h e. NN (N` ((T` h)` z)) <_ k} <-> (P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k))
16	10, 15	syl6bb 536	. 2 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k)))
17		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (h = n -> (T` h) = (T` n))
18	17	fveq1d 3726	. . . . . 6 |- (h = n -> ((T` h)` P) = ((T` n)` P))
19	18	fveq2d 3728	. . . . 5 |- (h = n -> (N` ((T` h)` P)) = (N` ((T` n)` P)))
20	19	breq1d 2629	. . . 4 |- (h = n -> ((N` ((T` h)` P)) <_ k <-> (N` ((T` n)` P)) <_ k))
21	20	cbvralv 1800	. . 3 |- (A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k <-> A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)
22	21	anbi2i 480	. 2 |- ((P e. X /\ A.h e. NN (N` ((T` h)` P)) <_ k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k))
23	16, 22	syl6bb 536	1 |- (k e. NN -> (P e. (A` k) <-> (P e. X /\ A.n e. NN (N` ((T` n)` P)) <_ k)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {crab 1648  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  {copab 2666  ` cfv 3182   <_ cle 5295  NNcn 5296  Basecba 8205

This theorem is referenced by:  ubthlem2 8530  ubthlem3 8531  ubthlem4 8532  ubthlem5 8533  ubthlem10 8538  ubthlem11 8539

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain