Theorem ubthi 8544

Description: Uniform Boundedness Theorem. Let T be a sequence of bounded linear operators on a Banach space. If, for every vector x, the norms of the operators' values are bounded, then the operators' norms are also bounded. Theorem 4.7-3 of [Kreyszig] p. 249. See also http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle.

Hypotheses

Ref	Expression
ubthi.1	|- X = (Base` U)
ubthi.3	|- M = (norm` W)
ubthi.4	|- N = (UnormOpW)
ubthi.5	|- B = (U BLnOp W)
ubthi.7	|- U e. CBan
ubthi.8	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
ubthi	|- ((T:NN-->B /\ A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c) -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d)

Distinct variable groups:   c,d,n,x,B   M,c,n,x   N,d   T,c,d,n,x   U,c,d,n,x   W,c,d,n,x   X,c,n,x

Proof of Theorem ubthi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 3723	. . . . . . . . 9 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (T` n) = (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n))
2	1	fveq1d 3726	. . . . . . . 8 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> ((T` n)` x) = ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x))
3	2	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (M` ((T` n)` x)) = (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)))
4	3	breq1d 2629	. . . . . 6 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> ((M` ((T` n)` x)) <_ c <-> (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c))
5	4	rexralbidv 1682	. . . . 5 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c <-> E.c e. RR A.n e. NN (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c))
6	5	ralbidv 1663	. . . 4 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c <-> A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c))
7	1	fveq2d 3728	. . . . . 6 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (N` (T` n)) = (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)))
8	7	breq1d 2629	. . . . 5 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> ((N` (T` n)) <_ d <-> (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)) <_ d))
9	8	rexralbidv 1682	. . . 4 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> (E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d <-> E.d e. RR A.n e. NN (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)) <_ d))
10	6, 9	imbi12d 626	. . 3 |- (T = if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})) -> ((A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d) <-> (A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)) <_ d)))
11		ubthi.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
12		ubthi.3	. . . 4 |- M = (norm` W)
13		ubthi.4	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
14		ubthi.5	. . . 4 |- B = (U BLnOp W)
15		ubthi.7	. . . 4 |- U e. CBan
16		ubthi.8	. . . 4 |- W e. NrmCVec
17		oprex 3983	. . . . . . 7 |- (U 0op W) e. V
18	17	fconst 3658	. . . . . 6 |- (NN X. {(U 0op W)}):NN-->{(U 0op W)}
19		bnnv 8526	. . . . . . . . 9 |- (U e. CBan -> U e. NrmCVec)
20	15, 19	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- U e. NrmCVec
21		eqid 1475	. . . . . . . . 9 |- (U 0op W) = (U 0op W)
22	21, 14	0blo 8452	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (U 0op W) e. B)
23	20, 16, 22	mp2an 697	. . . . . . 7 |- (U 0op W) e. B
24		snssi 2466	. . . . . . 7 |- ((U 0op W) e. B -> {(U 0op W)} (_ B)
25	23, 24	ax-mp 7	. . . . . 6 |- {(U 0op W)} (_ B
26		fss 3635	. . . . . 6 |- (((NN X. {(U 0op W)}):NN-->{(U 0op W)} /\ {(U 0op W)} (_ B) -> (NN X. {(U 0op W)}):NN-->B)
27	18, 25, 26	mp2an 697	. . . . 5 |- (NN X. {(U 0op W)}):NN-->B
28	27	elimf 3626	. . . 4 |- if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)})):NN-->B
29	11, 12, 13, 14, 15, 16, 28	ubthii 8543	. . 3 |- (A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)` x)) <_ c -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (if(T:NN-->B, T, (NN X. {(U 0op W)}))` n)) <_ d)
30	10, 29	dedth 2383	. 2 |- (T:NN-->B -> (A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d))
31	30	imp 350	1 |- ((T:NN-->B /\ A.x e. X E.c e. RR A.n e. NN (M` ((T` n)` x)) <_ c) -> E.d e. RR A.n e. NN (N` (T` n)) <_ d)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  ifcif 2361  {csn 2409   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233   <_ cle 5295  NNcn 5296  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  normcnm 8209  normOpcnmo 8402   BLnOp cblo 8403   0op c0o 8404  CBancbn 8522

This theorem is referenced by:  htthlem11 8630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-iso 3199  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-uz 6418  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-top 7592  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-nei 7713  df-lp 7741  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-cau 7923  df-cmet 7924  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-lno 8405  df-nmo 8406  df-blo 8407  df-0o 8408  df-bn 8523

Copyright terms: Public domain