Theorem tz9.1 4626

Description: Every set has a transitive closure (smallest transitive extension). Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73. See trcl 4625 for an explicit expression for the transitive closure.

Hypothesis

Ref	Expression
tz9.1.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
tz9.1	|- E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y))

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem tz9.1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.1.1	. . 3 |- A e. V
2		eqid 1473	. . 3 |- (rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om) = (rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)
3		eqid 1473	. . 3 |- U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)
4	1, 2, 3	trcl 4625	. 2 |- (A (_ U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))
5		omex 4607	. . . 4 |- om e. V
6		fvex 3723	. . . 4 |- ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) e. V
7	5, 6	iunex 3854	. . 3 |- U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) e. V
8		sseq2 2079	. . . 4 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (A (_ x <-> A (_ U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)))
9		treq 2681	. . . 4 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (Tr x <-> Tr U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)))
10		sseq1 2078	. . . . . 6 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (x (_ y <-> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))
11	10	imbi2d 611	. . . . 5 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y) <-> ((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)))
12	11	albidv 1276	. . . 4 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y) <-> A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)))
13	8, 9, 12	3anbi123d 891	. . 3 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> ((A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y)) <-> (A (_ U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))))
14	7, 13	cla4ev 1865	. 2 |- ((A (_ U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)) -> E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y)))
15	4, 14	ax-mp 7	1 |- E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807   u. cun 2041   (_ wss 2043  U.cuni 2498  U_ciun 2561  {copab 2661  Tr wtr 2675  omcom 3126   |` cres 3167  ` cfv 3177  reccrdg 3922

This theorem is referenced by:  zfregs 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923

Copyright terms: Public domain