Theorem trran 10636

Description: Range of a translation.

Hypothesis

Ref	Expression
trran.1	|- F = (x e. RR |-> (x + A))

Assertion

Ref	Expression
trran	|- (A e. RR -> ran F = RR)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem trran

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (y = (x + A) -> (y e. RR <-> (x + A) e. RR))
2		axaddrcl 5272	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x + A) e. RR)
3	1, 2	syl5cbir 211	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (y = (x + A) -> y e. RR))
4	3	expcom 374	. . . . 5 |- (A e. RR -> (x e. RR -> (y = (x + A) -> y e. RR)))
5	4	r19.23adv 1746	. . . 4 |- (A e. RR -> (E.x e. RR y = (x + A) -> y e. RR))
6		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (x = (y - A) -> (x + A) = ((y - A) + A))
7	6	eqeq2d 1486	. . . . . . 7 |- (x = (y - A) -> (y = (x + A) <-> y = ((y - A) + A)))
8	7	rcla4ev 1877	. . . . . 6 |- (((y - A) e. RR /\ y = ((y - A) + A)) -> E.x e. RR y = (x + A))
9		resubclt 5438	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> (y - A) e. RR)
10		npcant 5399	. . . . . . . 8 |- ((y e. CC /\ A e. CC) -> ((y - A) + A) = y)
11		recnt 5313	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> y e. CC)
12		recnt 5313	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> ((y - A) + A) = y)
14	13	eqcomd 1480	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> y = ((y - A) + A))
15	8, 9, 14	sylanc 471	. . . . 5 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> E.x e. RR y = (x + A))
16	15	expcom 374	. . . 4 |- (A e. RR -> (y e. RR -> E.x e. RR y = (x + A)))
17	5, 16	impbid 516	. . 3 |- (A e. RR -> (E.x e. RR y = (x + A) <-> y e. RR))
18	17	abbi1dv 1579	. 2 |- (A e. RR -> {y | E.x e. RR y = (x + A)} = RR)
19		trran.1	. . 3 |- F = (x e. RR |-> (x + A))
20	19	cmpran 10469	. 2 |- ran F = {y | E.x e. RR y = (x + A)}
21	18, 20	syl5eq 1519	1 |- (A e. RR -> ran F = RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  ran crn 3171  (class class class)co 3963   e. cmpt 4071  CCcc 5232  RRcr 5233   + caddc 5237   - cmin 5292

This theorem is referenced by:  trnij 10637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-mpt 4073  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358

Copyright terms: Public domain