Theorem topbast 7627

Description: A topology is its own basis.

Assertion

Ref	Expression
topbast	|- (J e. Top -> J e. Bases)

Proof of Theorem topbast

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1535	. . . . . . . 8 |- (w = (x i^i y) -> (z e. w <-> z e. (x i^i y)))
2		sseq1 2082	. . . . . . . 8 |- (w = (x i^i y) -> (w (_ (x i^i y) <-> (x i^i y) (_ (x i^i y)))
3	1, 2	anbi12d 628	. . . . . . 7 |- (w = (x i^i y) -> ((z e. w /\ w (_ (x i^i y)) <-> (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) (_ (x i^i y))))
4	3	rcla4ev 1877	. . . . . 6 |- (((x i^i y) e. J /\ (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) (_ (x i^i y))) -> E.w e. J (z e. w /\ w (_ (x i^i y)))
5		inopnt 7600	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ x e. J /\ y e. J) -> (x i^i y) e. J)
6	5	3expb 834	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (x i^i y) e. J)
7	6	adantr 389	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ z e. (x i^i y)) -> (x i^i y) e. J)
8		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ z e. (x i^i y)) -> z e. (x i^i y))
9		ssid 2080	. . . . . . 7 |- (x i^i y) (_ (x i^i y)
10	8, 9	jctir 293	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ z e. (x i^i y)) -> (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) (_ (x i^i y)))
11	4, 7, 10	sylanc 471	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ z e. (x i^i y)) -> E.w e. J (z e. w /\ w (_ (x i^i y)))
12	11	exp31 376	. . . 4 |- (J e. Top -> ((x e. J /\ y e. J) -> (z e. (x i^i y) -> E.w e. J (z e. w /\ w (_ (x i^i y)))))
13	12	r19.21adv 1718	. . 3 |- (J e. Top -> ((x e. J /\ y e. J) -> A.z e. (x i^i y)E.w e. J (z e. w /\ w (_ (x i^i y))))
14	13	r19.21aivv 1720	. 2 |- (J e. Top -> A.x e. J A.y e. J A.z e. (x i^i y)E.w e. J (z e. w /\ w (_ (x i^i y)))
15		isbasis2g 7612	. 2 |- (J e. Top -> (J e. Bases <-> A.x e. J A.y e. J A.z e. (x i^i y)E.w e. J (z e. w /\ w (_ (x i^i y))))
16	14, 15	mpbird 196	1 |- (J e. Top -> J e. Bases)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   i^i cin 2046   (_ wss 2047  Topctop 7588  Basesctb 7590

This theorem is referenced by:  tgtopt 7628  eltopt 7629  eltop2t 7630  eltop3t 7631  basgen2t 7639  2basgent 7641

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-in 2051  df-ss 2053  df-pw 2402  df-uni 2504  df-top 7592  df-bases 7594

Copyright terms: Public domain