Theorem tgsst 7636

Description: Subset relation for generated topologies.

Assertion

Ref	Expression
tgsst	|- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))

Proof of Theorem tgsst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2071	. . . . 5 |- (x (_ U.(B i^i P~x) -> (U.(B i^i P~x) (_ U.(C i^i P~x) -> x (_ U.(C i^i P~x)))
2		ssrin 2234	. . . . . 6 |- (B (_ C -> (B i^i P~x) (_ (C i^i P~x))
3		uniss 2521	. . . . . 6 |- ((B i^i P~x) (_ (C i^i P~x) -> U.(B i^i P~x) (_ U.(C i^i P~x))
4	2, 3	syl 10	. . . . 5 |- (B (_ C -> U.(B i^i P~x) (_ U.(C i^i P~x))
5	1, 4	syl5com 52	. . . 4 |- (B (_ C -> (x (_ U.(B i^i P~x) -> x (_ U.(C i^i P~x)))
6	5	3ad2ant3 802	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (x (_ U.(B i^i P~x) -> x (_ U.(C i^i P~x)))
7		eltgt 7618	. . . 4 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> x (_ U.(B i^i P~x)))
8	7	3ad2ant1 800	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (x e. (topGen` B) <-> x (_ U.(B i^i P~x)))
9		eltgt 7618	. . . 4 |- (C e. Bases -> (x e. (topGen` C) <-> x (_ U.(C i^i P~x)))
10	9	3ad2ant2 801	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (x e. (topGen` C) <-> x (_ U.(C i^i P~x)))
11	6, 8, 10	3imtr4d 543	. 2 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (x e. (topGen` B) -> x e. (topGen` C)))
12	11	ssrdv 2070	1 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B (_ C) -> (topGen` B) (_ (topGen` C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 775   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem is referenced by:  2basgent 7641

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain