Theorem tgss3t 7638

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations.

Assertion

Ref	Expression
tgss3t	|- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ U.B = U.C) -> ((topGen` B) (_ (topGen` C) <-> A.x e. B (U.B i^i x) (_ U.(C i^i P~x)))

Distinct variable groups:   x,B   x,C

Proof of Theorem tgss3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgss2t 7637	. 2 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ U.B = U.C) -> ((topGen` B) (_ (topGen` C) <-> A.y e. U.BA.x e. B (y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x))))
2		ralcom 1774	. . 3 |- (A.y e. U.BA.x e. B (y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x)) <-> A.x e. B A.y e. U.B(y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x)))
3		elin 2207	. . . . . . . 8 |- (y e. (U.B i^i x) <-> (y e. U.B /\ y e. x))
4		anass 439	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. C /\ z e. P~x) /\ y e. z) <-> (z e. C /\ (z e. P~x /\ y e. z)))
5		elin 2207	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. (C i^i P~x) <-> (z e. C /\ z e. P~x))
6	5	anbi1i 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. (C i^i P~x) /\ y e. z) <-> ((z e. C /\ z e. P~x) /\ y e. z))
7		ancom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. (C i^i P~x) /\ y e. z) <-> (y e. z /\ z e. (C i^i P~x)))
8	6, 7	bitr3 175	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. C /\ z e. P~x) /\ y e. z) <-> (y e. z /\ z e. (C i^i P~x)))
9		ancom 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. P~x /\ y e. z) <-> (y e. z /\ z e. P~x))
10		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. V
11	10	elpw 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. P~x <-> z (_ x)
12	11	anbi2i 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. z /\ z e. P~x) <-> (y e. z /\ z (_ x))
13	9, 12	bitr 173	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. P~x /\ y e. z) <-> (y e. z /\ z (_ x))
14	13	anbi2i 480	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. C /\ (z e. P~x /\ y e. z)) <-> (z e. C /\ (y e. z /\ z (_ x)))
15	4, 8, 14	3bitr3r 182	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. C /\ (y e. z /\ z (_ x)) <-> (y e. z /\ z e. (C i^i P~x)))
16	15	exbii 1051	. . . . . . . . 9 |- (E.z(z e. C /\ (y e. z /\ z (_ x)) <-> E.z(y e. z /\ z e. (C i^i P~x)))
17		df-rex 1650	. . . . . . . . 9 |- (E.z e. C (y e. z /\ z (_ x) <-> E.z(z e. C /\ (y e. z /\ z (_ x)))
18		eluni 2506	. . . . . . . . 9 |- (y e. U.(C i^i P~x) <-> E.z(y e. z /\ z e. (C i^i P~x)))
19	16, 17, 18	3bitr4r 184	. . . . . . . 8 |- (y e. U.(C i^i P~x) <-> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x))
20	3, 19	imbi12i 188	. . . . . . 7 |- ((y e. (U.B i^i x) -> y e. U.(C i^i P~x)) <-> ((y e. U.B /\ y e. x) -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x)))
21		impexp 347	. . . . . . 7 |- (((y e. U.B /\ y e. x) -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x)) <-> (y e. U.B -> (y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x))))
22	20, 21	bitr 173	. . . . . 6 |- ((y e. (U.B i^i x) -> y e. U.(C i^i P~x)) <-> (y e. U.B -> (y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x))))
23	22	albii 999	. . . . 5 |- (A.y(y e. (U.B i^i x) -> y e. U.(C i^i P~x)) <-> A.y(y e. U.B -> (y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x))))
24		dfss2 2058	. . . . 5 |- ((U.B i^i x) (_ U.(C i^i P~x) <-> A.y(y e. (U.B i^i x) -> y e. U.(C i^i P~x)))
25		df-ral 1649	. . . . 5 |- (A.y e. U.B(y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x)) <-> A.y(y e. U.B -> (y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x))))
26	23, 24, 25	3bitr4r 184	. . . 4 |- (A.y e. U.B(y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x)) <-> (U.B i^i x) (_ U.(C i^i P~x))
27	26	ralbii 1667	. . 3 |- (A.x e. B A.y e. U.B(y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x)) <-> A.x e. B (U.B i^i x) (_ U.(C i^i P~x))
28	2, 27	bitr 173	. 2 |- (A.y e. U.BA.x e. B (y e. x -> E.z e. C (y e. z /\ z (_ x)) <-> A.x e. B (U.B i^i x) (_ U.(C i^i P~x))
29	1, 28	syl6bb 536	1 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ U.B = U.C) -> ((topGen` B) (_ (topGen` C) <-> A.x e. B (U.B i^i x) (_ U.(C i^i P~x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646   i^i cin 2046   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-bases 7594  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain