Theorem tg2t 7621

Description: Property of a member of a topology generated by a basis.

Assertion

Ref	Expression
tg2t	|- ((B e. Bases /\ A e. (topGen` B) /\ C e. A) -> E.x e. B (C e. x /\ x (_ A))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,C

Proof of Theorem tg2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2t 7619	. . 3 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> (A (_ U.B /\ A.y e. A E.x e. B (y e. x /\ x (_ A))))
2		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (y = C -> (y e. x <-> C e. x))
3	2	anbi1d 617	. . . . . 6 |- (y = C -> ((y e. x /\ x (_ A) <-> (C e. x /\ x (_ A)))
4	3	rexbidv 1664	. . . . 5 |- (y = C -> (E.x e. B (y e. x /\ x (_ A) <-> E.x e. B (C e. x /\ x (_ A)))
5	4	rcla4cv 1874	. . . 4 |- (A.y e. A E.x e. B (y e. x /\ x (_ A) -> (C e. A -> E.x e. B (C e. x /\ x (_ A)))
6	5	adantl 388	. . 3 |- ((A (_ U.B /\ A.y e. A E.x e. B (y e. x /\ x (_ A)) -> (C e. A -> E.x e. B (C e. x /\ x (_ A)))
7	1, 6	syl6bi 214	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) -> (C e. A -> E.x e. B (C e. x /\ x (_ A))))
8	7	3imp 827	1 |- ((B e. Bases /\ A e. (topGen` B) /\ C e. A) -> E.x e. B (C e. x /\ x (_ A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem is referenced by:  tgss2t 7637  elcls3 7711

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain