Theorem symgoprab 10307

Description: Two ways to express the symmetry-group operator class abstraction. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
symgoprab	|- {<.<.f, g>., h>. | (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g))} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}

Distinct variable groups:   A,f,g,h,x   P,f,g,h

Proof of Theorem symgoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsymgrn.1	. . . . . . 7 |- A e. V
2		elsymgrn.2	. . . . . . 7 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
3	1, 2	elsymgrn 10306	. . . . . 6 |- (f e. P <-> f:A-1-1-onto->A)
4	1, 2	elsymgrn 10306	. . . . . 6 |- (g e. P <-> g:A-1-1-onto->A)
5	3, 4	anbi12i 481	. . . . 5 |- ((f e. P /\ g e. P) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A))
6	5	anbi1i 480	. . . 4 |- (((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g)) <-> ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) /\ h = (f o. g)))
7		df-3an 775	. . . 4 |- ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g)) <-> ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) /\ h = (f o. g)))
8	6, 7	bitr4 176	. . 3 |- (((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g)) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g)))
9	8	oprabbii 3982	. 2 |- {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))} = {<.<.f, g>., h>. | (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g))}
10	9	eqcomi 1471	1 |- {<.<.f, g>., h>. | (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A /\ h = (f o. g))} = {<.<.f, g>., h>. | ((f e. P /\ g e. P) /\ h = (f o. g))}

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  Vcvv 1802   o. ccom 3164  -1-1-onto->wf1o 3171  {copab2 3949

This theorem is referenced by:  symgval 10308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-oprab 3951

Copyright terms: Public domain