Theorem symgidi 10402

Description: The value of the identity element of the symmetry group on A (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrpi.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
symgidi	|- (Id` (SymGrp` A)) = (I |` A)

Proof of Theorem symgidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 3723	. . . . . 6 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
2		symggrpi.1	. . . . . . 7 |- A e. V
3		eqid 1478	. . . . . . 7 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = {x | x:A-1-1-onto->A}
4	2, 3	elsymgrn 10396	. . . . . 6 |- ((I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> (I |` A):A-1-1-onto->A)
5	1, 4	mpbir 190	. . . . 5 |- (I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A}
6	2, 3	symgoprval 10399	. . . . 5 |- (((I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ (I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = ((I |` A) o. (I |` A)))
7	5, 5, 6	mp2an 699	. . . 4 |- ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = ((I |` A) o. (I |` A))
8		f1of 3695	. . . . . 6 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A -> (I |` A):A-->A)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . . 5 |- (I |` A):A-->A
10		fcoi2 3652	. . . . 5 |- ((I |` A):A-->A -> ((I |` A) o. (I |` A)) = (I |` A))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- ((I |` A) o. (I |` A)) = (I |` A)
12	7, 11	eqtr 1498	. . 3 |- ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = (I |` A)
13	2	symggrpi 10401	. . . 4 |- (SymGrp` A) e. Grp
14	2, 3	symgf 10400	. . . . . . 7 |- (SymGrp` A):({x | x:A-1-1-onto->A} X. {x | x:A-1-1-onto->A})-->{x | x:A-1-1-onto->A}
15	14	fdmi 3638	. . . . . 6 |- dom (SymGrp` A) = ({x | x:A-1-1-onto->A} X. {x | x:A-1-1-onto->A})
16	13, 15	grprn 8053	. . . . 5 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = ran (SymGrp` A)
17		eqid 1478	. . . . 5 |- (Id` (SymGrp` A)) = (Id` (SymGrp` A))
18	16, 17	grpid 8061	. . . 4 |- (((SymGrp` A) e. Grp /\ (I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((I |` A) = (Id` (SymGrp` A)) <-> ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = (I |` A)))
19	13, 5, 18	mp2an 699	. . 3 |- ((I |` A) = (Id` (SymGrp` A)) <-> ((I |` A)(SymGrp` A)(I |` A)) = (I |` A))
20	12, 19	mpbir 190	. 2 |- (I |` A) = (Id` (SymGrp` A))
21	20	eqcomi 1482	1 |- (Id` (SymGrp` A)) = (I |` A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  Vcvv 1814  Icid 2837   X. cxp 3174   |` cres 3178   o. ccom 3180  -->wf 3184  -1-1-onto->wf1o 3187  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Grpcgr 8030  Idcgi 8031  SymGrpcsymgrp 10394

This theorem is referenced by:  cayleylem3 10406

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-symgrp 10395

Copyright terms: Public domain